138. $7n=a^2+3b^2$ allora $n=c^2+3d^2$

[jordan]

Mostrare che se $7n=a^2+3b^2$ per qualche intero $a,b,n$ allora $n=c^2+3d^2$ per qualche $c,d$ intero.

[Ido Bovski]

Notiamo che $7(c^2+3d^2)=(2c+3d)^2+3(2d-c)^2=(2c-3d)^2+3(2d+c)^2$. Inoltre, se $7\mid a^2+3b^2$, allora $7\mid a+2b$ oppure $7\mid a-2b$.
Dunque, se $7\mid a+2b$ imponiamo $2c+3d=a$ e $2d-c=b$, ovvero $c=(2a-3b)/7$ e $d=(a+2b)/7$. Altrimenti $2c-3d=a$ e $2d+c=b$, cioè $c=(2a+3b)/7$ e $d=(2b-a)/7$.

[jordan]

Vadi