[tex]2^n+1[/tex] (Davenport)

[Gi.]

Se $ 2^n+1 $ é primo, dimostrare che n é una potenza di 2. E' vero il viceversa?


Metto la mia soluzione nascosta, cosi' chiunque voglia provare a risolverlo non é costretto a vederla

Testo nascosto:

Supponiamo che n sia dispari, allora possiamo scrivere il numeri $ 2^n+1 $ come

$ (2+1)(2^{n-1}-2^{n-2}+...+1) $

Essendo scomponibile e' necessariamente un numero composto, quindi non puo' essere primo.
Inoltre, n non puo' essere nemmeno un pari multiplo di un numero dispari, perché in questo caso sarebbe possibile porre n=m,con $ m^2=n $ , ed ottenere cosi' un' espressione del tipo $ 2^m+1 $ scomponibile.
E' facile verificare che i numeri rimanenti sono tutte le potenze di 2.
Il viceversa non é necessariamente vero, infatti , ad esempio, per n=10 si ottiene 1025 che é evidentemente multiplo di 5.

Qualcuno mi potrebbe dire se la mia dimostrazione é corretta?
Il viceversa necessita di una dimostrazione o basta esporre un controesempio?

[ale.b]

Attento al viceversa! Se vuoi mostrare che è falso devi trovare un $n$ che sia potenza di due tale che $2^n+1$ non sia primo... $n=10$ non va bene!

[jordan]

Riguardo la prima parte, era sufficiente dire che se $\text{gpf}(n)\ge 3$ allora $2^{\text{gpf}(n)}+1\mid 2^n+1$, i.e. $2^n +1 \in \mathbb{P} \implies n=2^m$ per qualche $m \in \mathbb{N}$.

Ora, i primi della forma $2^{2^m}+1$ sono definiti primi di Fermat; all'inizio si credeva (verificando a mano) che tutti i numeri di quella forma fossero primi; ma non è così . E' tutt'ora sconosciuto se l'insieme $\mathbb{F}:=\{m \in \mathbb{N}:2^{2^m}+1 \in \mathbb{P}\}$ sia di cardinalità finita o meno..

[Gi.]

@ale.b

Si, hai ragionissima, non avevo considerato che il viceversa implica necessariamente $ n=2^m $, quindi giustamente n=10 non va bene.

@jordan

Grazie mille per avermi dato queste informazioni: una rapida ricerca su Wikipedia mi ha permesso di scoprire che il più piccolo n per cui l' espressione non é prima é $ 2^5 $.

p.s. La notazione $ gpf(n) $ cosa indica? Non mi pare di averla mai incontrata fino ad ora.

[Drago96]

p.s. La notazione $ gpf(n) $ cosa indica? Non mi pare di averla mai incontrata fino ad ora.

$\text{gpf}$ sta per greatest prime factor, ovvero $\text{gpf}(n)$ è il più grande divisore primo di $n$.
Nel caso sopra $\text{gpf}(n)\ge3$ significa che c'è almeno un fattore primo maggiore di 3, ovvero $n$ non è una potenza di 2.