$ ax+by=n $
Vorrei stabilire una condizione di risolubilità con $ x,y \in\mathbb{N} $.
Chiaramente, n deve essere un multiplo del MCD di a e b, altrimenti l' equazione é irrisolubile.
Nell' "aritmetica superiore" di Davenport viene detto che il più grande numero per cui l' equazione non ha soluzioni é $ n=ab-a-b $. La dimostrazione data é la seguente:
Supponiamo $ MCD(a,b)=h\not=1 $, dividiamo allora tutto per h fin quando non si giunge alla situazione $ MCD(a,b)=1 $.
Se $ n=ab-a-b $, allora il numero $ n+a=b(a-1) $ é divisibile per b.
Sia $ n=ax+by $, allora $ n+a=a(x+1)+by $, poiché $b\mid n+a$ e, evidentemente, $b\mid by$ allora $b\mid a(x+1)$, essendo coprimo con $a$ allora $b\mid(x+1)$, da questo segue
$x+1\ge b $
$a(x+1)\ge ab$
$ax\ge a(b-1)$
Ovviamente, addizionando al LHS $by$ la diseguaglianza non viene modificata, per cui
$ax+by\ge a(b-1)$
L' espressione sopra é sicuramente falsa, in quanto $ax+by= a(b-1)-b < a(b-1)$
Quindi non puo' esistere un $n$ siffatto.
Potreste mostrarmi una dimostrazione che, invece, per $n\ge ab-a-b+1$ l' equazione ha soluzioni?
Quella presente sul Davenport non riesco a capirla
