Giovanna (new entry nel mondo dei giochi, ed è molto sadica) ha un po' dii mattonelle, una stanza in ristrutturazione e un pomeriggio noioso da affrontare.
Il pavimento è un rettangolo di dimensioni m x n. Le mattonelle sono fatte così: sono quadrate di lato L e divise in quattro quadrati ognuno di un colore diverso (che so, facciamo rosso, blu, giallo e verde, tanto per essere fantasiosi). Giovanna le tira casualmente sul pavimento e - ahimè - riesce con gran maestria a piastrellarlo.
1. Qual'è la probabilità che si formi un quadrato di lato L di un colore solo?
(questo accade quando quattro mattonelle vicine hanno tutte - per esempio - lo spigolo blu diretto verso l'interno, e quindi si forma un quadrato blu fatto da quattro quadratini blu)
2. Variante semplificativa: i colori sono solo 2, rosso e blu, disposti alternativamente in senso orario.
3. Variante per i birichini: qual'è la probabilità che si formino esattamente k quadrati simili?
4. Variante seconda per i birichini: qual'è la probabilità che si formino almeno k quadrati simili?
P.S.: tutte le mattonelle hanno lo stesso ordine di colori in senso orario/antiorario.
Le mattonelle di Giovanna (mmm..)
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Gottinger95
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- Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52
Le mattonelle di Giovanna (mmm..)
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
Re: Le mattonelle di Giovanna (mmm..)
Ci provo.
Prima di tutto consideriamo le possibili posizioni assumibili dalla mattonella quando viene tirata, che sono quattro e sono:
X Y
Z W
Z X
W Y
W Z
Y X
Y W
X Z
Preso uno qualunque tra X,Y,Z,W esso può assumere quattro colori, uno dei tre rimanente tre colori, uno dei due rimanente due colori e l' ultimo un colore.
I possibili "tipi" di mattonella sono dunque $ 4!=24 $.
Prendiamo ora un quadrato di lato 2l e suddividiamolo in quattro parti di lato l.
Per ogni parte abbiamo quattro modi di inserire le mattonelle (quelli visti sopra), ossia $ 4^4= 256 $, quindi essendo 24 i possibili tipi di mattonella tutti i casi possibili sono $ 24*256 $. I casi favorevoli, ossia quelli in cui al centro abbiamo un quadrato di lato l di uno stesso colore, sono 4*24.
Quindi la probabilità dovrebbe essere:
$ \displaystyle P(E)= \frac {4*24}{256*24}= \frac {1}{64} $
Dove sbaglio? (perchè sicuramente è sbagliato
)
Prima di tutto consideriamo le possibili posizioni assumibili dalla mattonella quando viene tirata, che sono quattro e sono:
X Y
Z W
Z X
W Y
W Z
Y X
Y W
X Z
Preso uno qualunque tra X,Y,Z,W esso può assumere quattro colori, uno dei tre rimanente tre colori, uno dei due rimanente due colori e l' ultimo un colore.
I possibili "tipi" di mattonella sono dunque $ 4!=24 $.
Prendiamo ora un quadrato di lato 2l e suddividiamolo in quattro parti di lato l.
Per ogni parte abbiamo quattro modi di inserire le mattonelle (quelli visti sopra), ossia $ 4^4= 256 $, quindi essendo 24 i possibili tipi di mattonella tutti i casi possibili sono $ 24*256 $. I casi favorevoli, ossia quelli in cui al centro abbiamo un quadrato di lato l di uno stesso colore, sono 4*24.
Quindi la probabilità dovrebbe essere:
$ \displaystyle P(E)= \frac {4*24}{256*24}= \frac {1}{64} $
Dove sbaglio? (perchè sicuramente è sbagliato
)