Triangolo ortico

[Hawk]

Spostato nel glossario -- EG

Come si dimostra che il triangolo ortico ha circoraggio pari a metà del triangolo iniziale?

[Ido Bovski]

Chiama $\triangle ABC$ il tuo 'triangolo iniziale' e $H$ l'ortocentro di questo. L'omotetia di centro $H$ e ragione $1/2$ manda la circonferenza circoscritta ad $\triangle ABC$ nella circonferenza di Feuerbach... perché?

[EvaristeG]

Forse perché non lo sapeva? Completiamo la risposta di Ido Bovski: i simmetrici di $H$ rispetto ai lati stanno sulla circonferenza circoscritta ad $ABC$ (esercizio per il viandante curioso) e dunque l'omotetia di centro $H$ e fattore $1/2$ porta questi simmetrici sui piedi delle altezze; dunque porta la circonferenza circoscritta ad $ABC$ nella circonferenza circoscritta al triangolo ortico.

Vi son tuttavia altre soluzioni (ve le lascio così):

1. Quanto valgono i lati e l'area del triangolo ortico? (magari senza calcolare gli angoli)
2. Quanto valgono gli angoli? (con uno dei lati di prima, il raggio della circoscritta si calcola)
3. Che succede invertendo rispetto alla circonferenza che ha un lato del "triangolo iniziale" come diametro?

PS: sposto tutto nel glossario!

[dario2994]

...perché?

[Hawk]

Faccio prima l'esercizio del viandante .

Mostro che AH'BC è ciclico. Per dimostrarlo sfrutto la disposizione degli angoli intorno l'ortocentro (vabbè questo non lo dimostro ma è semplice, segue per angle-chasing e dal fatto che l'ortocentro di ABC è l'incentro del triangolo ortico). Comunque trovando gli angoli che mi servono ($ H \hat A B $ ed $ H\hat BA $ per semplice differenza sui triangoli rettangoli) e quindi per simmetria trovo tutti gli angoli di ABH'. Dimostrata la ciclicità di AH'BC, in quanto si verifica che la somma dei lati opposti è 180, basta ricordare che la circonferenza passante per tre punti è unica per cui H' deve appartenere alla circonferenza circoscritta di ABC.