139. Quadrato a coordinate intere in 3D

[Ido Bovski]

Determinare per quali $n\in\mathbb{N}$ esiste un quadrato di area $n$ coi vertici in $\mathbb{Z}^3$.

[jordan]

Scusa forse non ho capito bene la domanda: stai chiedendo

"Per quali interi $n\ge 1$ esistono quattro punti $P_i=(x_i,y_i,z_i) \in \mathbb{Z}^3$ tali che $P_iP_j=x_0 \in \mathbb{R}$ per ogni $1\le i<j\le 4$ e $x_0^2=n$?"


Ps. Se è così l'esercizio si risolve tranquillamente con i $P_i \in \mathbb{Z}^k$ per ogni $k\ge 2$

[Ido Bovski]

Scusa forse non ho capito bene la domanda: stai chiedendo

"Per quali interi $n\ge 1$ esistono quattro punti $P_i=(x_i,y_i,z_i) \in \mathbb{Z}^3$ tali che $P_iP_j=x_0 \in \mathbb{R}$ per ogni $1\le i<j\le 4$ e $x_0^2=n$?"


Ps. Se è così l'esercizio si risolve tranquillamente con i $P_i \in \mathbb{Z}^k$ per ogni $k\ge 2$

Naturalmente ho mancato "con i vertici". Ora edito.

[jordan]

In altre parole, stai chiedendo tutti e soli gli interi $n\ge 1$ esprimibili come somma di tre quadrati. Il risultato è un fatto noto, ma sicuro che esista la dimostrazione elementare?

Edit: la dimostrazione elementare esiste per certo per $k=2$ e per ogni $k\ge 4$..

[Ido Bovski]

In altre parole, stai chiedendo tutti e soli gli interi $n\ge 1$ esprimibili come somma di tre quadrati. Il risultato è un fatto noto, ma sicuro che esista la dimostrazione elementare?

Edit: la dimostrazione elementare esiste per certo per $k=2$ e per ogni $k\ge 4$..

Non c'è neanche bisogno di dimostare il fatto che tu hai in mente. Nel problema tali $n$ si possono descrivere in un altro modo, e la soluzione è certamente elementare.

EDIT: come costruisci in $\mathbb{Z}^3$ un quadrato con area $3=1^2+1^2+1^2$

[jordan]

Mi sa che mi son perso per strada il vincolo che $P_iP_j$ costante per ogni $1\le i<j\le 4$, hai ragione

[Ido Bovski]

Hint:

Testo nascosto:

$n$ è somma di due quadrati

[andreac]

Scusate, ma se io prendo:
$ A(0, 0, 0) $
e il vertice opposto
$ C(k, k, 0) $
con k in $ \mathbb{Z} $
snaturerò anche il problema, ma trovo infinite soluzioni
$ n = k^{2} $

Oppure sottointendiamo che il quadrato non giace su un piano parallelo ad alcuno dei piani xy, yz, zx ?

Testo nascosto:

Oppure sono ancora ubricao dal 31?

[Ido Bovski]

Scusate, ma se io prendo:
$ A(0, 0, 0) $
e il vertice opposto
$ C(k, k, 0) $
con k in $ \mathbb{Z} $
snaturerò anche il problema, ma trovo infinite soluzioni
$ n = k^{2} $

Oppure sottointendiamo che il quadrato non giace su un piano parallelo ad alcuno dei piani xy, yz, zx ?

Testo nascosto:

Oppure sono ancora ubricao dal 31?

In genere con "$n$ è somma di due quadrati" si intende che $n$ è della forma $x^2+y^2$ con $(x, y)\in\mathbb{N}^2$. In altre parole, anche $1$ è somma di due quadrati, infatti $1=1^2+0^2$.

[Ido Bovski]

E' passato più di un mese, scrivo la soluzione.

Determinare per quali $n\in\mathbb{N}$ esiste un quadrato di area $n$ coi vertici in $\mathbb{Z}^3$.

Assumiamo wlog che un vertice sia nell'origine e chiamiamo $X=(x_1, x_2, x_3)$ e $Y=(y_1, y_2, y_3)$ i vertici adiacenti. Abbiamo che $X\cdot Y=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=0$ e $\lVert X\rVert ^2=\lVert Y\rVert ^2=n$, ovvero $x_1^2+x_2^2+x_3^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2=n$. Pertanto $n(x_3^2+y_3^2)=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)y_3^2+(y_1^2+y_2^2+y_3^2)x_3^2=(x_1^2+x_2^2)y_3^2+(y_1^2+y_2^2)x_3^2-2(x_1y_1+x_2y_2)x_3y_3=(x_1y_3-y_1x_3)^2+(x_2y_3-y_2x_3)^2.$
E' noto che un intero è esprimibile come somma di due quadrati sse ogni primo $p\equiv 3 \pmod 4$ che lo divide compare con esponente pari nella sua fattorizzazione. Ne segue che $n$ è somma di due quadrati (ed è facile dimostrare che questa condizione è anche sufficiente).