5 punti su una circonferenza

[mat94]

Dati 5 punti $ A,M,B,C,D $ in ordine su una circonferenza si ha che AM=BM. Siano P,Q i punti d'intersezione tra AC e MD, e BD e MC rispettivamente. Siano X e Y i punti d'intersezione tra la circonferenza e PQ. Dimostrare che MX=MY.

[Mist]

Ci provo...
La tesi è equivalente a $PQ \parallel AB$.
$\hat{MDB} = \hat{MCA}$ perchè insistono su archi uguali (perchè sottesi da corde uguali). Questi angoli insistono entambi su $PQ$, da cui deriva che $DPQC$ è ciclico. Calcolando la potenza di $M$ rispetto alla circonferenza circoscritta a $DCQP$ otteniamo che $MP\cdot MD = MQ \cdot MC$ da cui $\displaystyle \frac{MP}{MQ} = \frac{MC}{MD}$ da cui consegue che $MPQ \sim MCD$. In particolare $\hat{DCM} = \hat{MPQ}$. Sia $J= DM \cap AB$. Ora, siccome $\hat{CDB} = \hat{CAB}$ (perchè insistono sullo stesso arco) e $\hat{DPC} = \hat{APJ}$ (perchè opposto allo stesso vertice), si ha che $APJ \sim DQC$ e quindi in particolare $\hat{PJA} =\hat{DCQ}$. Ma allora $\hat{QPM} = \hat{AJP}$, da cui $PQ \parallel AB$ che è la tesi.

[mat94]

Un errore di scrittura in partenza, comunque giusta