Diofantea razionale

[mat94]

Trovare le coppie (z,r), con z intero e r razionale, tale che :
$2^z+2=r^2$

[Triarii]

Può darsi che abbia sbagliato qualcosa, comunque la soluzione dovrebbe essere $ (-2;3/2) $
Infatti è facile verificare che per z=0 l'equazione è impossibile.
Se z>0 non esistono soluzioni in quanto $ v_2 (LHS) $ dispari, quindi RHS non è un razionale (quadrato con numero dispari di 2)
Se z<0 riscrivo come $ \tfrac{1}{2^{\alpha}}+2=\tfrac{p^2}{q^2} $ con $ \alpha = |z| $e con $ (p;q)=1 $
Moltiplicando per $ 2^z $ e $ q^2 $ ottengo $ q^2(1+2^{\alpha +1})=2^{\alpha}p^2 $
Poichè q e p sono coprimi e pure 1+2^{\alpha +1} è coprimo perchè dispari con $ 2^{\alpha} $ ottengo il sistema
$ q^2=2^{\alpha} $ da cui $ \alpha $ pari
$ P^2= 1+2^{\alpha +1} $
Riscrivendo la seconda equazione ottengo $ p+1=2^y $ e $ p-1=2^x (x<y; x+y=\alpha ) $
risolvendo questo nuovo sistema ottengo $ p=3 $ e $ \alpha =2 $

[mat94]

Per z>0 la valutazione 2-adica è pari per z=1, quindi le soluzioni sono (1,2),(1,-2),(-2,3/2),(-2,-3/2).

[Triarii]

Sì mi sono dimenticato sia delle soluzioni con r newgativo che per z=1 : x
Infatti z=1 è l'unico caso in cui $ v_2(LHS) $ è pari. Dunque $ r=\pm 2 $
La cosa che mi fa rabbia è che me ne accorgo sempre tardi di queste cavolate