Funzionale carina

[mat94]

Trova tutte le funzioni $f:R\rightarrow R$ such that:
$ f(x+xy+f(y)) =\left(f(x)+\frac{1}{2}\right)\left(f(y)+\frac{1}{2}\right) $
per ogni x,y reale.

[xXStephXx]

Con $y=-1$ si ha $\displaystyle f(f(-1)) = \bigg(f(x)+\frac{1}{2}\bigg)\bigg(f(-1)+\frac{1}{2}\bigg)$
Quindi $f(x)$ assume sempre lo stesso valore e la funzione è del tipo $f(x)=k$
Ma sostituendo nel testo iniziale si ottiene che deve valere:
$k=\big(k+\frac{1}{2}\big)^2$
Da cui $0=k^2 +\frac{1}{4}$ che non ha soluzioni reali.

[mat94]

O f(x)=k o f(-1)=-1/2 e hai escluso solo il primo caso, ora devi fare il secondo.

[xXStephXx]

Wow me l'ero proprio scordato Domani ci provo xD

[Tess]

Mi dispiace che nessuno ci provi: sono d'accordo con mat94 che è carina! E fornisce sia spunti interessanti di carattere generale sul risolvere funzionali, sia errori facili in cui uno può incappare (il tentativo di xXSthepXx non è l'unico in questo senso).

[mat94]

Già a me è piaciuta molto anche se è un po' difficile.

[matty96]

Siccome nessuno ha più risposto ci provo io.
Proseguendo la strada di steph faccio il caso f(-1)=-1/2
$x=0 \implies f(f(y))=(f(0)+1/2)(f(y)+1/2)$ (1)
$y=-1 \implies f(f(-1))=f(-1/2)=0 \implies f(f(-1/2))=f(0)$ (2) e questo perchè ho messo y nella (1)
$y=-1/2 \implies f(0)=f(f(-1/2))=(f(0)+1/2)(f(-1/2)+1/2)=1/2(f(0)+1/2) \implies f(0)=1/2$ per la (1)e(2)
Ora $f(f(y))=f(y)+1/2$ (3)
Nell'equazione iniziale poniamo y=0, cosi $f(x+f(0))=(f(x)+1/2)(f(0)+1/2)$ da cui $f(x+1/2)=f(x)+1/2=f(f(x))$ dove la terza uguaglianza è giustificata dalla (3). Per cui $f(x+1/2)=f(f(x)) \implies f(x)=x+1/2$
Verifico e vedo che funziona.

[patatone]

$f(x+1/2)=f(f(x)) \implies f(x)=x+1/2$

questo è il punto cruciale, per poter dire ciò devi sapere che la funzione è iniettiva che comuque pare l'unica strada possibile, ed effettivamente si riesce a dimostrare ma non è per nulla facile, provaci! Bisogna partire dall'ipotizzare che esistano a e b diversi tali che f(a)=f(b) e cercare di arrivare a un assurdo

[matty96]

Si, lo avevo capito che dovevo supporre quella iniettiva, ma pensavo che quella funzione prendeva tutti i valori reali per x+1/2 e quindi doveva farlo anche l'argomento di f(f(x)) cioè f(x), ma mi rendo conto che non significa molto...ci provo.

[mat94]

Mi sembra abbastanza difficile dimostrare l'iniettività, nella mia soluzione sono riuscito a evitare di dimostrarla. Tu patatone ci sei riuscito? Ponendo f(a)=f(b) bisogna dimostrare che a=b (o eventualmente giungere ad un assurdo ponendo a diverso da b)ma non mi viene nulla.

[patatone]

allora sono curioso di vedere la tua soluzione
io ho pensato di fare cosi:
lasciando perdere tutte le cose già viste in questo post partiamo direttamente già sapendo che
f(-1)=-1/2 f(-1/2)=0 f(0)=1/2
quindi $f(x+\frac 1 2)=f(x)+\frac 1 2$ come già notato da matty. Di conseguenza $f(x+n)=f(x)+n$ con n intero.
Ponendo $y\rightarrow y-1$ troviamo $f(xy+f(y))-1=(f(x)+\frac 1 2)(f(y)-\frac 1 2)$ che da ora in poi useremo come equazione di riferimento.
Supponiamo ora che esista k diverso da 0 tale che $f(k)=\frac 1 2$ allora ponendo y=k troviamo f(x)=1 per ogni x che chiaramente è assurdo.
Supponiamo ora che esistano a,b diversi da 0 tale che f(a)=f(b) diverse da 1/2 per quanto appena detto e poniamo:
1)$y=a,x=1$ e troviamo $f(1)+\frac 1 2=\frac{f(a+f(a))-1}{f(a)-\frac 1 2}$
2)$y=b,x=\frac a b$ e troviamo $f(\frac a b)+\frac 1 2=\frac{f(a+f(b))-1}{f(b)-\frac 1 2}=\frac{f(a+f(a))-1}{f(a)-\frac 1 2}$
Quindi $f(\frac a b)=f(1)$.
Ma allora $f(\frac a b-1)=f(\frac a b)-1=f(1)-1=f(0)=\frac 1 2$... e per quanto osservato l'unica possibilità è $\frac a b-1=0$ quindi $a=b$ e da qui si può concludere