Con solo i razionali non si riesce

[Mist]

Si considerino i punti $\displaystyle O=(0,0)$ e $\displaystyle A=\left( 0,\frac{1}{2}\right)$ sul piano cartesiano. Dimostrare che non esistono $n$ punti sul piano a coordinate razionali tali che

$$1=P_1P_2 =P_2P_3= \dots =P_{n-1}P_n=P_{n}A$$

[mat94]

Ma per P_i ed A si intende il modulo del vettore che va da O al punto?

[Mist]

Sì, i $P_i$ sono punti del piano avente come origine $O$, scusatemi se mi sono dimenticato di scriverlo.

[mat94]

Dato che il modulo del vettore A è 1/2 allora il modulo del vettore $P_n$ è 2 e procedendo a ritroso e supponendo WLOG n dispari (il caso n pari è simile) si hanno $\frac{n+1}{2}$ vettori che hanno modulo 2 (i P_i con i dispari) e $\frac{n+1}{2}$ vettori con modulo 1/2. Ora affinché il modulo di un vettore sia 2 si deve avere $x^2+y^2=4$ , ovvero una circonferenza di raggio 2 e centro nell'origine. Sia $m=\frac{n+1}{2}$ e supponiamo che i P_m punti abbiano coordinate razionali. I P_m punti di modulo 2 devono stare su questa circonferenza. Dato che per ogni punto a coordinate razionali su questa circonferenza c'è un punto simmetrico rispetto all'asse x, un punto simmetrico rispetto all'asse y e un punto simmetrico rispetto all'origine possiamo assumere WLOG che il poligono formato dai P_m punti sia regolare. A questo punto si ha che l'area del poligono è data da $4msin(\frac{2\pi}{m})$ e per il teorema di pick deve essere un numero razionale, ma lo è solo per m=2, m=4 e m=12.
Ma ci sono degli n per cui è possibile che i P_n abbiano coordinate razionali? (Questi n possono essere 2,3,4,7,8,23,24, ma le mie sono solo condizioni necessarie quindi potrebbero non andare bene nessuno di tutti questi.)

[EvaristeG]

Dato che il modulo del vettore A è 1/2 allora il modulo del vettore $P_n$ è 2

Io temo ci sia un fraintendimento ... $P_iP_j$ non è il prodotto dei moduli del vettore $OP_i$ e del vettore $OP_j$, ma, più banalmente, la distanza tra i punti $P_i$ e $P_j$, come al solito.

[Mist]

Dato che il modulo del vettore A è 1/2 allora il modulo del vettore $P_n$ è 2

Io temo ci sia un fraintendimento ... $P_iP_j$ non è il prodotto dei moduli del vettore $OP_i$ e del vettore $OP_j$, ma, più banalmente, la distanza tra i punti $P_i$ e $P_j$, come al solito.

Ha ragione EvaristeG Chiedo scusa se sono stato io a spiegarmi male!

(Sono comunque contento di aver creato uno dei pochi post nella storia del forum in cui serve il teorema di Pick )

[patatone]

immagino si sia anche $OP_1$...

[mat94]

Su non fa niente avevo capito che erano vettori dal post di mist che significa immagino si sia anche OP_1?

[patatone]

significa che senza O come punto di partenza la tesi sarebbe banalmente falsa perchè basterebbe prendere $P_i=(n-i+1,\frac 1 2)$

[Troleito br00tal]

Testo nascosto:

Esiste un'invariante sui denominatori?