Circonferenza e corde

[Gi.]

"Sia C una circonferenza e P un punto dato nel piano. Ogni retta che passa attraverso P e interseca C determina una corda di C. Dimostrare che i punti medi di queste corde giacciono su una circonferenza."

[simone256]

Bello!
Poi per uno come me che ha serie difficoltà in geometria è stato confortante!
Quando trovo il tempo provo a scrivere una soluzione, intanto...

Testo nascosto:

"Sia C una circonferenza e P un punto dato nel piano. Ogni retta che passa attraverso P e interseca C determina una corda di C. Dimostrare che i punti medi di queste corde giacciono su una circonferenza."

Il punto P giace su questa circonferenza.

[Triarii]

Perchè?

[Gi.]

Piazza il punto P in un punto qualsiasi del piano, se tracci la retta che passa per P ed il centro di C individuerai una corda (il diametro) il cui punto medio è appunto il centro di C, quindi la circonferenza cercata passa per il centro di C, supponiamo passi anche per P e chiamiamo la circonferenza descritta C'.
Adesso prendi l' estremo del diametro di C che non finisce in C' e chiama tale punto Q, ripeti lo stesso lavoro di prima e trovi che il punto medio di PO giace sulla circonferenza C ed è anche il centro di C': Poichè Q giace su C allora è intuitivo pensare che è corretto anche che P giace su C'.
Scusa se mi sono spiegato da schifo, ma non saprei proprio come dirlo in altro modo (e spero di non aver scritto una castroneria, altrimenti la mia soluzione non andrebbe più bene)

[simone256]

Beh ora non mi metto a dimostrarlo perchè sono anche sul cellulare e gli occhietti si fan pesanti :3
Era solo un indizio per dare un punto di inizio a chi volesse partire!

[Triarii]

ah pardon avevo capito che voi credevate che P dovesse stare sulla prima circonferenza, ecco perchè non mi tornava quello che dicevate

[simone256]

Mmmmm... Mi sorge un dubbio... Se consideriamo le rette passanti per $ P $ tangenti alla circonferenza $ C $, se chiamiamo $ H $ e $ K $ i punti di tangenza, rientrano nei punti medi delle corde? Sarebbero punti medi di segmenti nulli ... Mah non so se è lecito, io mi sono servito di questi due punti per la mia dimostrazione! Cosa ne dite?

[Triarii]

Sinceramente io non l'ho risolto, ma anche a me era venuta quell'idea, a regola dovrebbe andare, visto che per il teorema della tangente/secante la tangente viene considerata al pari quasi di una secante e anche come caso limite per gli angoli alla circonferenza

[Gi.]

Io direi che finchè i punti stanno sulla circonferenza richiesta è tutto lecito: prova a mettere la soluzione.

[Drago96]

Devo dire che è piuttosto carino...
Se si fa un buon disegno si vede una cosa che porta praticamente alla soluzione
Hint: (ovvero cosa si dovrebbe vedere in un disegno ben fatto, che è anche quello che mi pare abbia detto Gi.)

Testo nascosto:

il punto P appatiene alla circonferenza dei punti medi, e per di più è diametralmente opposto ad O (centro della circonferenza originaria)