Sia $p$ un primo dispari tale che $4\mid p-1$ e $2p+1$ è anch'esso primo.
Mostrare che $2$ è un generatore modulo $2p+1$ (cioè che $2p+1 \mid 2^k-1$ per qualche intero $k\ge 0$ se e solo se $2p\mid k$)
$2$ è generatore di un primo $2p+1$
$2$ è generatore di un primo $2p+1$
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: $2$ è generatore di un primo $2p+1$
Allora, sia $q=2p+1$.
Abbiamo $q\equiv3\pmod 8$ in quanto $p\equiv1\pmod4$. Ed inoltre $\varphi(q)=2p$
Sia ora $o=\text{ord}_q(2)$; deve essere $o\mid2p$, il che significa che $o\in\{1,2,p,2p\}$.
I primi due casi sono banalmente impossibili, l'ultimo è la tesi; concentriamoci dunque sul terzo.
Supponiamo per assurdo che $o=p$; dunque $2^p\equiv1\pmod q$.
Ma $\displaystyle p=\frac{2p+1-1}2=\frac{q-1}2$, e quindi $\displaystyle 2^p\equiv\left(\frac2 q\right)\pmod q$, e deve quindi valere $\displaystyle\left(\frac2 q\right)\equiv1\pmod q$.
Qui ora potrei concludere dicendo che è abbastanza noto che $\displaystyle\left(\frac2 q\right)\equiv(-1)^{\frac{p^2-1}8}\pmod q$ e quindi nel nostro caso $\displaystyle\left(\frac2 q\right)\equiv-1\pmod q$, assurdo.
Però questa conclusione mi lascia un po' con l'amaro in bocca, dato che so che potrei fare/sapere la dimostrazione di quest'ultimo fatto, ma non la so...
Un'idea per dimostrare che 2 non è residuo quadratico? Avevo una mezza intenzione di provare a lavorare con $\mathbb Z[\sqrt2]$, ma penso di saperne ancora di meno che di Legendre...
Abbiamo $q\equiv3\pmod 8$ in quanto $p\equiv1\pmod4$. Ed inoltre $\varphi(q)=2p$
Sia ora $o=\text{ord}_q(2)$; deve essere $o\mid2p$, il che significa che $o\in\{1,2,p,2p\}$.
I primi due casi sono banalmente impossibili, l'ultimo è la tesi; concentriamoci dunque sul terzo.
Supponiamo per assurdo che $o=p$; dunque $2^p\equiv1\pmod q$.
Ma $\displaystyle p=\frac{2p+1-1}2=\frac{q-1}2$, e quindi $\displaystyle 2^p\equiv\left(\frac2 q\right)\pmod q$, e deve quindi valere $\displaystyle\left(\frac2 q\right)\equiv1\pmod q$.
Qui ora potrei concludere dicendo che è abbastanza noto che $\displaystyle\left(\frac2 q\right)\equiv(-1)^{\frac{p^2-1}8}\pmod q$ e quindi nel nostro caso $\displaystyle\left(\frac2 q\right)\equiv-1\pmod q$, assurdo.
Però questa conclusione mi lascia un po' con l'amaro in bocca, dato che so che potrei fare/sapere la dimostrazione di quest'ultimo fatto, ma non la so...
Un'idea per dimostrare che 2 non è residuo quadratico? Avevo una mezza intenzione di provare a lavorare con $\mathbb Z[\sqrt2]$, ma penso di saperne ancora di meno che di Legendre...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
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Troleito br00tal
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Re: $2$ è generatore di un primo $2p+1$
Le strade sono due...
1) Lemma di Gauss (supercannone)
2) Quello che io chiamo lemma intermedio, a mio parere una delle cose più orgasmiche della tdn. Una volta dimostrato questo puoi ricavare, anche se con ben arduo lavoro, la tua amata relazione.
Il lemma è (dimostralo!):
Il numero di coppie non ordinate di residui quadratici consecutivi modulo $p$ è la parte intera superiore di $\frac{p}{4}$.
Una volta assunto questo si può dimostrare che $2$ è residuo quadratico modulo $p$ se e solo se $16|p^2-1$.
1) Lemma di Gauss (supercannone)
2) Quello che io chiamo lemma intermedio, a mio parere una delle cose più orgasmiche della tdn. Una volta dimostrato questo puoi ricavare, anche se con ben arduo lavoro, la tua amata relazione.
Il lemma è (dimostralo!):
Il numero di coppie non ordinate di residui quadratici consecutivi modulo $p$ è la parte intera superiore di $\frac{p}{4}$.
Una volta assunto questo si può dimostrare che $2$ è residuo quadratico modulo $p$ se e solo se $16|p^2-1$.
Re: $2$ è generatore di un primo $2p+1$
Niente di così esagerato 
vedi qui, teorema 9.
vedi qui, teorema 9.The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: $2$ è generatore di un primo $2p+1$
Beh, così tanto supercannone non mi sembra... Alla fine dice in modo forse incasinato per uno che non l'ha capita una cosa abbastanza ovvia!Troleito br00tal ha scritto:1) Lemma di Gauss (supercannone)
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Troleito br00tal
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Re: $2$ è generatore di un primo $2p+1$
Scusami, sono ben dislessico, con supercannone intendevo esattamente "se lo usi utilizzi 2 righe"Tess ha scritto:Beh, così tanto supercannone non mi sembra... Alla fine dice in modo forse incasinato per uno che non l'ha capita una cosa abbastanza ovvia!Troleito br00tal ha scritto:1) Lemma di Gauss (supercannone)