Una sequenza intera

[jordan]

Sia fissato un intero positivo $m$ e definiamo la sequenza:
$x_1=1$
$x_{n+1}=mx_n+\sqrt{(m^2-1)x_n^2+1}$ per ogni intero $n\ge 1$

Mostrare che $x_n$ è intero per ogni intero $n\ge 1$

[Simo_the_wolf]

Testo nascosto:

Vièta Jumping!! Altrimenti detto: eleva al quadrato nel modo furbo e nota la simmetria!

[Gi.]

Può essere che valga una cosa del tipo

$ x_{n+1}=(2m)^{n-1}-x_{n-1} $

in tal caso è evidentemente intero, ma non sono certo di tale formula (l' ho ipotizzata vedendo qualche caso) e non saprei proprio come dimostrarla

[Tess]

A me non torna quella cosa che dici... Forse però basta sistemare qualche indice/esponente/coefficiente.
Comunque se sai la risposta di una ricorrenza, è quasi certo che per induzione venga! Sarà per qualcosa una ricorrenza!
Ma, certamente, il problema è fatto per applicare quanto detto da StW...

[Gi.]

Si intende una cosa di questo tipo?

$ x_{n+1}-mx_n=\sqrt{m^2x_n^2-x_n^2+1} $

$ x_{n+1}^2-2mx_nx_{n+1}+m^2x_n^2=m^2x_n^2-x_n^2+1 $

$ x_{n+1}^2-2mx_nx_{n+1}=-x_n^2+1 $

Adesso, se sostituiamo, sotto radice otteniamo un quadrato e dunque l' espressione è intera

$ x_{n+1}=mx_n+ \sqrt{(mx_n-x_{n+1})^2} $

[totissimus]

La successione $x_n$ è crescente.

$x_1=1$

$x_2=2m$

$x_{n+1}^2-2mx_nx_{n+1}+x_n^2-1=0$

$x_{n+2}^2-2mx_{n+1}x_{n+2}+x_{n+1}^2-1=0$

Dalle due precedenti uguaglianze segue

$x_{n+2}^2-2mx_{n+1}x_{n+2}+2mx_nx_{n+1}-x_n^2=0$

$(x_{n+2}-x_n)(x_{n+2}+x_n-2mx_{n+1})=0$

da cui

$x_{n+2}=x_n$ impossibile in quanto la successione è crescente, quindi :

$x_{n+2}=2mx_{n+1}-x_n$

e il risultato segue adesso per induzione.