Sia $f:\mathbb N \rightarrow \mathbb N$ una funzione iniettiva.
Dimostrare che $$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{f(i)}{i^2}$$diverge.
Somma che diverge
Re: Somma che diverge
Domanda un po' ot un po' no: le serie sono state sdoganate nell'ambito olimpico (perlomeno ad alti livelli) o no?
Re: Somma che diverge
no. nella realtà, poi, la gente mormora, quindi i concorrenti più smaliziati certe cose già le sanno..ndp15 ha scritto:Domanda un po' ot un po' no: le serie sono state sdoganate nell'ambito olimpico (perlomeno ad alti livelli) o no?
Re: Somma che diverge
In realtà questo problema non usa nulla di strano, nulla di extra-olimpico. Se vuoi posso riformularlo così:
Data la $f$ di prima, per ogni $n \in \mathbb N$ definiamo
$$a_n=\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{f(i)}{i^2}.$$
Dimostrare quindi che per ogni $M\in \mathbb R^+$, esiste $k\in \mathbb N$ tale che $a_k > M$.
Data la $f$ di prima, per ogni $n \in \mathbb N$ definiamo
$$a_n=\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{f(i)}{i^2}.$$
Dimostrare quindi che per ogni $M\in \mathbb R^+$, esiste $k\in \mathbb N$ tale che $a_k > M$.
Re: Somma che diverge
Ci provo, anche se mi sembra un po' troppo facile... 
Innanzitutto: i naturali sono intesi con o senza lo 0? (non che cambi molto mi pare...) Io ho optato per $\mathbb N =\{1,2,3,\dots\}$
Lemma dell'ordinamento Prendiamo la successione $a_1,a_2,\dots$ di naturali che ordina la $f$, ovvero $f(a_1)\le f(a_2)\le\dots$. Allora $f(a_i)\ge i \ \forall i\in\mathbb N$.
Dim
Per prima cosa tale oridinamento esiste, perchè l'insieme di arrivo è $\mathbb N$ ed è ordinato; e l'ordinamento è in realtà stretto, per l'iniettività, che assicura che non ci siano due $f$ uguali; quindi per iniettività possiamo risalire agli $a_i$ che sono quindi unici.
Ora si fa per induzione: passo base facile perchè 1 è l'elemento minimo di $\mathbb N$.
Passo induttivo: $\displaystyle f(a_{n+1})\ge f(a_n)+1\ge n+1$ (dove si sfrutta la crescenza stretta e il fatto che si lavora in $\mathbb N$)
Ora, definiamo $\sigma(\cdot)$ la "permutazione" tale che $\displaystyle i=a_{\sigma(i)}$. Quindi $$\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{f(i)}{i^2}=\sum_{i=1}^n\frac{f(a_\sigma(i))}{i^2}\ge\sum_{i=1}^n\frac{a_{\sigma(i)}}{i^2}$$
Se ordiniamo ora anche gli $a_{\sigma(i)}$ e applichiamo riarrangiamento e usaiamo il fatto che gli $a_{\sigma(i)}$ sono naturali e diversi, otteniamo
$$\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{a_{\sigma(i)}}{i^2}\ge\sum_{i=1}^n\frac{i}{i^2}=\sum_{i=1}^n\frac1 i$$
Ovvero $$\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{f(i)}{i^2}\ge\sum_{i=1}^n\frac1 i$$
E quest'ultima diverge, quindi diverge anche la somma di partenza.
Giusto? Mi perdo qualcosa?
Innanzitutto: i naturali sono intesi con o senza lo 0? (non che cambi molto mi pare...) Io ho optato per $\mathbb N =\{1,2,3,\dots\}$
Lemma dell'ordinamento Prendiamo la successione $a_1,a_2,\dots$ di naturali che ordina la $f$, ovvero $f(a_1)\le f(a_2)\le\dots$. Allora $f(a_i)\ge i \ \forall i\in\mathbb N$.
Dim
Per prima cosa tale oridinamento esiste, perchè l'insieme di arrivo è $\mathbb N$ ed è ordinato; e l'ordinamento è in realtà stretto, per l'iniettività, che assicura che non ci siano due $f$ uguali; quindi per iniettività possiamo risalire agli $a_i$ che sono quindi unici.
Ora si fa per induzione: passo base facile perchè 1 è l'elemento minimo di $\mathbb N$.
Passo induttivo: $\displaystyle f(a_{n+1})\ge f(a_n)+1\ge n+1$ (dove si sfrutta la crescenza stretta e il fatto che si lavora in $\mathbb N$)
Ora, definiamo $\sigma(\cdot)$ la "permutazione" tale che $\displaystyle i=a_{\sigma(i)}$. Quindi $$\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{f(i)}{i^2}=\sum_{i=1}^n\frac{f(a_\sigma(i))}{i^2}\ge\sum_{i=1}^n\frac{a_{\sigma(i)}}{i^2}$$
Se ordiniamo ora anche gli $a_{\sigma(i)}$ e applichiamo riarrangiamento e usaiamo il fatto che gli $a_{\sigma(i)}$ sono naturali e diversi, otteniamo
$$\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{a_{\sigma(i)}}{i^2}\ge\sum_{i=1}^n\frac{i}{i^2}=\sum_{i=1}^n\frac1 i$$
Ovvero $$\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{f(i)}{i^2}\ge\sum_{i=1}^n\frac1 i$$
E quest'ultima diverge, quindi diverge anche la somma di partenza.
Giusto? Mi perdo qualcosa?
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Somma che diverge
Se non mi sbaglio, stai supponendo che $\{a_1,a_2,\dots,a_n\}=\{1,2,\dots,n\}$. Questo non è vero perché i numeri non devono "comparire" in un ordine che riempe tutti i buchi prima di passare a numeri nuovi: per esempio, considera l'ordinamento in cui scrivi prima 2,4,6, poi alternatamente il dispari e il pari più piccolo che rimangono fuori: 2,4,6,1,8,3,10,5,12,...
Come puoi verificare non c'è nessun "segmento iniziale" che viene mappato in sé.
Come puoi verificare non c'è nessun "segmento iniziale" che viene mappato in sé.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Re: Somma che diverge
Esatto, credo sia l'unico errore che si potrebbe fare nella risoluzione di questo esercizio; definisci la successione:
\[ b_n:= \sum_{1\le i\le n}{g_n(i)i^{-2}} \text{ per ogni } n\in \mathbb{N}\setminus \{0\} \]
di modo tale che, una volta fissato $n$, si abbia per ogni $i \in \{1,2,\ldots,n\}$:
i) $g_n(i)=f(i)$ se $f(i) \in \{1,2,\ldots,n\}$
ii) altrimenti $g_n(i)=\min\left\{m \in \mathbb{N} \cap [1,n]: \left(\prod_{1\le j\le n}{(f(j)-m)}\right)\left(\prod_{1\le t\le i-1}{(g(t)-m)}\right) \neq 0 \right\}$
Allora è vero che $\{g_n(1),g_n(2),\ldots,g_n(n)\}=\{1,2,\ldots,n\}$ e che in particolare \[ a_n \ge b_n \]
per ogni $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$?
\[ b_n:= \sum_{1\le i\le n}{g_n(i)i^{-2}} \text{ per ogni } n\in \mathbb{N}\setminus \{0\} \]
di modo tale che, una volta fissato $n$, si abbia per ogni $i \in \{1,2,\ldots,n\}$:
i) $g_n(i)=f(i)$ se $f(i) \in \{1,2,\ldots,n\}$
ii) altrimenti $g_n(i)=\min\left\{m \in \mathbb{N} \cap [1,n]: \left(\prod_{1\le j\le n}{(f(j)-m)}\right)\left(\prod_{1\le t\le i-1}{(g(t)-m)}\right) \neq 0 \right\}$
Allora è vero che $\{g_n(1),g_n(2),\ldots,g_n(n)\}=\{1,2,\ldots,n\}$ e che in particolare \[ a_n \ge b_n \]
per ogni $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Somma che diverge
Uhm, ok dovrei esserci...
Ripartiamo comunque per sicurezza:
$f(1),f(2),f(3),\dots$ sono ordinate in un qualche modo.
Questo modo è stretto perchè l'iniettività impedisce che ci siano due $f$ uguali.
Per iniettività quindi posso risalire alla sequenza che ordina la $f$.
Chiamo quindi $a_1,a_2,\dots$ la sequenza tale che $f(a_1)<f(a_2)<\dots$ (cioè la sequenza che ordina la $f$).
Sopra ho dimostrato per induzione $f(a_i)\ge i$ (il che dovrebbe essere vero perchè $f(a_i)$ è una successione crescente di naturali)
E fin qua dovrebbe essere tutto a posto...
Ora, l'errore *dovrebbe* stare nel supporre che debba esistere una permutazione $\sigma$ tale che $i=a_{\sigma(i)}$
Provo a modificare leggermente la cosa (in un modo che mi pare simile se non uguale a quello di jordan) sperando che funzioni
prendo una funzione $g$ tale che $i=a_{g(i)}$, che esiste perchè per ogni $a_k=h$ impongo $k=g(h)$ e siccome gli $a_i$ sono distinti $g$ è davvero una funzione ed è anche bigettiva (in pratica, ho definito una "permutazione infinita")
Quindi $\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{f(i)}{i^2}=\sum_{i=1}^n\frac{f\left(a_{g(i)}\right)}{i^2}\ge\sum_{i=1}^n\frac{g(i)}{i^2}$.
Ora se ordino i $g(i)$, avrò un ordinamento stretto, e quindi il più piccolo sarà almeno 1, il secondo più piccolo sarà almeno 2, il terzo almeno 3, ecc... il più grande sarà almeno $n$.
E quindi posso applicare riarrangiamento ed ottenere la serie armonica...
E l'idea di riportare i $g(i)$ a $\{1,2,\dots,n\}$ direi che è uguale a quella di jordan, anche se il modo è diverso: infatti la sua $g$ dovrebbe mantenere fisse le $f$ che sono già nell'intervallo, mentre per quelle che vanno fuori prende il più piccolo non ancora preso nè dalla $f$ nè dalla $g$; quindi la risposta ad entrambe le domande è sì.
Ripartiamo comunque per sicurezza:
$f(1),f(2),f(3),\dots$ sono ordinate in un qualche modo.
Questo modo è stretto perchè l'iniettività impedisce che ci siano due $f$ uguali.
Per iniettività quindi posso risalire alla sequenza che ordina la $f$.
Chiamo quindi $a_1,a_2,\dots$ la sequenza tale che $f(a_1)<f(a_2)<\dots$ (cioè la sequenza che ordina la $f$).
Sopra ho dimostrato per induzione $f(a_i)\ge i$ (il che dovrebbe essere vero perchè $f(a_i)$ è una successione crescente di naturali)
E fin qua dovrebbe essere tutto a posto...
Ora, l'errore *dovrebbe* stare nel supporre che debba esistere una permutazione $\sigma$ tale che $i=a_{\sigma(i)}$
Provo a modificare leggermente la cosa (in un modo che mi pare simile se non uguale a quello di jordan) sperando che funzioni
prendo una funzione $g$ tale che $i=a_{g(i)}$, che esiste perchè per ogni $a_k=h$ impongo $k=g(h)$ e siccome gli $a_i$ sono distinti $g$ è davvero una funzione ed è anche bigettiva (in pratica, ho definito una "permutazione infinita")
Quindi $\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{f(i)}{i^2}=\sum_{i=1}^n\frac{f\left(a_{g(i)}\right)}{i^2}\ge\sum_{i=1}^n\frac{g(i)}{i^2}$.
Ora se ordino i $g(i)$, avrò un ordinamento stretto, e quindi il più piccolo sarà almeno 1, il secondo più piccolo sarà almeno 2, il terzo almeno 3, ecc... il più grande sarà almeno $n$.
E quindi posso applicare riarrangiamento ed ottenere la serie armonica...
E l'idea di riportare i $g(i)$ a $\{1,2,\dots,n\}$ direi che è uguale a quella di jordan, anche se il modo è diverso: infatti la sua $g$ dovrebbe mantenere fisse le $f$ che sono già nell'intervallo, mentre per quelle che vanno fuori prende il più piccolo non ancora preso nè dalla $f$ nè dalla $g$; quindi la risposta ad entrambe le domande è sì.
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Somma che diverge
Adesso che l'avete risolto, io direi che costruirsi questa funzione che prende tutti gli interi è un po' inutile... Io l'ho fatto semplicemente facendo un riarrangiamento sui primi $n$ termini: detta $g_n$ la funzione che semplicemente riordina i primi $n$ termini della $f$ si ha $$ \sum\limits_{i=1}^n \frac{f(i)}{i^2} \geq \sum\limits_{i=1}^n \frac{g_n(i)}{i^2} \geq \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i} = H_n.$$ Dove la prima disuguaglianza è riarrangiamento, la seconda è semplicemente la disuguaglianza che usa Drago ($g_n(i) \geq i$). Ora $H_n$ cresce quanto voglio; fine.
P. s. ovviamente non cambia nulla rispetto la vostra dimostrazione.
P. p. s. era un vecchio Imo, ma vecchio forte.
P. s. ovviamente non cambia nulla rispetto la vostra dimostrazione.
P. p. s. era un vecchio Imo, ma vecchio forte.
Re: Somma che diverge
Giusto! xD
*foorse* un'idea del genere mi era anche venuta, ma scrivere di getto alle dieci dopo una giornata alquanto stancante non aiuta...
Ora, cosa seria: la $f$ deve essere solo iniettiva, quindi per una qualunque successione di naturali che non ha termini che si ripetono, la somma diverge! Figo questo fatto
*foorse* un'idea del genere mi era anche venuta, ma scrivere di getto alle dieci dopo una giornata alquanto stancante non aiuta...
Ora, cosa seria: la $f$ deve essere solo iniettiva, quindi per una qualunque successione di naturali che non ha termini che si ripetono, la somma diverge! Figo questo fatto
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Somma che diverge
il fatto che la serie armonica diverge è ancora piu' forte; anzi, se vogliamo andarci pesante $\sum_{p \in \mathbb{P}}{p^{-1}}$ diverge, e ancora piu' in generale (questo non ha dimostrazione elementare), fissati due interi positivi coprimi $a,b$:Drago96 ha scritto:Figo questo fatto
\[ \sum_{p \in \mathbb{P}\text{ tale che }a \mid p-b}{p^{-1}} \]
diverge.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Somma che diverge
Questa dimostrazione è fattibile, o per lo meno elementare?jordan ha scritto: $\sum_{p \in \mathbb{P}}{p^{-1}}$ diverge
Ha qualcosa a che fare con il teorema di Dirichlet sui primi nelle progressioni aritmetiche?jordan ha scritto:fissati due interi positivi coprimi $a,b$:
\[ \sum_{p \in \mathbb{P}\text{ tale che }a \mid p-b}{p^{-1}} \]
diverge.
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Somma che diverge
Il primo sì, è fattibile in modo elementare e esistono n dimostrazioni di cio' (trovane almeno una!). Riguardo la seconda, e' un diretto corollario del teorema di Dirichlet, che dà una stima asintotica di $f(x,a,b):=\sum_{p \in \mathbb{P}\cap [1,x]\text{ tale che }a \mid p-b}{p^{-1}} $ con $x \to \infty$ e $a,b$ interi positivi tali che $\text{gcd}(a,b)=1$
The only goal of science is the honor of the human spirit.