Ammissione Sant'Anna

[NicolasRossi]

Determinare tutte le radici reali dell'equazione $x^{10}-x^8+8*x^6-24*x^4+32*x^2-48=0$

Di seguito metto le pochissime considerazioni che sono riuscito a fare

Testo nascosto:

se $alpha$ è radice, anche $-alpha$ lo è.
Quindi il numero di radici reali e anche quello di radici complesse è pari.
Che esistono radici complesse si nota subito con le formule di Viète. Come vado avanti? Suggerimenti?

[Ludox]

Io ragionerei così:

Pongo y=x^2

Scrivo la nuova equazione

y^5 - y^4 + 8y^3 - 24y^2 + 32y - 48 = 0

Da questo momento in poi cerco solo soluzioni positive; se y<0 non esiste x^2=y.

Con il buon vecchio Ruffini trovo che y=2 è soluzione. Non so se ci sono altri modi per notare tutto questo! In ogni caso svolgo il calcolo e trovo:

(y-2)(y^4+y^3+10y^2-4y+24)=0

Due soluzioni sono, perciò, x=sqrt(2) e x=-sqrt(2)

L'altro fattore non si annulla mai per valori positivi di y, poiché 24>4y per y<6, e 10y^3>y per y^2>1, quindi per y>1. Gli altri addendi sono tutti positivi.

Tutte e sole le radici reali sono perciò le due sopra elencate.

Spero di essere stato chiaro, ma soprattutto spero che sia tutto giusto xD!

[NicolasRossi]

Oddio, il cambiamento di variabile l'avevo fatto pure io :O
Ma non pensavo che procedendo con Ruffini si risolvesse... Grazie mille!

[Ludox]

Figurati! Se hai tempo presentati con un apposito topic !

[NicolasRossi]

Lo faccio subito