proprietà sequenziose...

[Simo_the_wolf]

siano dati $n_1, n_2 , \ldots,n_{2013}$ dei numeri naturali distinti di (strettamente) meno di $100$ cifre.

Dimostrare che esistono due sottoinsiemi disgiunti $A$ e $B$ di $\{ 1,2, \ldots, 2013\}$ tali che valgono le seguenti proprietà:

(i) $|A|=|B|$;
(ii) $\sum_{i \in A} n_i = \sum_{j \in B} n_j $;
(iii) $\sum_{i \in A} n_i^2 = \sum_{j \in B} n_j^2 $;
(iv) $\sum_{i \in A} n_i^3 = \sum_{j \in B} n_j^3 $

Il risultato è ancora vero se sostituisco $2013$ con $2010$?