Lemma di Gauss - parte 2

[jordan]

Vedi parte 1.

Dimostrare che se un polinomio $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$ è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$ allora è anche irriducibile anche in $\mathbb{Q}[x]$.

[Gottinger95]

Tutti i polinomi \(A(x)\) si possono scrivere come \(c \cdot A'(x)\), con:
\(A'(x) \in \mathbb{Z}[x]\) polinomio primitivo;
\(c \in \mathbb{Z}\) sse \(A(x) \in \mathbb{Z}[x]\) e \(c \in \mathbb{Q}\) sse \(A(x) \in \mathbb{Q}[x]\).

DIMOSTRAZIONE
Sia \(P(x)\) un polinomio irriducibile in \(\mathbb{Z}[x]\) ma fattorizzabile come \(p_1(x)\cdot \ldots \cdot p_n(x)\) in \(\mathbb{Q}[x]\). Si ha:
\(P(x) = p_1(x) \cdot \ldots \cdot p_n(x) = c_1 \cdot \ldots \cdot c_n \cdot p'_1(x) \cdot \ldots \cdot p'_n(x) = C \cdot p'_1(x) \cdot \ldots \cdot p'_n(x) = C \cdot P'(x) \)
D'altra parte \(P(x) = h \cdot H(x)\), con \(H(x)\) primitivo e \(h \in \mathbb{Z}\). Eguagliando i due fatti si ottiene \(h \cdot H(x) = C \cdot P'(x)\), con \(P'(x)\) primitivo.
Visto che i polinomi primitivi non possono, in un certo senso, prendere alcun contributo dalle costanti, l'equazione si spezza in \(h=C\) e \(H(x) = P'(x)\).
Dunque \(P(x) = C \cdot P'(x) = h \cdot P'(x) = h \cdot p'_1(x) \cdot \ldots \cdot p'_n(x)\). Ma \(h \in \mathbb{Z}\), perciò \(P(x)\) è fattorizzabile anche in \(\mathbb{Z}\) --> Assurdo.

Scusate, la mia dimostrazione mi sembra decisamente ridondante. Come posso migliorarla? Grazie

[jordan]

\(c \in \mathbb{Z}\) sse \(A(x) \in \mathbb{Z}[x]\)e \(c \in \mathbb{Q}\) sse \(A(x) \in \mathbb{Q}[x]\).

Che significa? $c$ non è neanche univocamente definito

Sia \(P(x)\) un polinomio irriducibile in \(\mathbb{Z}[x]\) ma fattorizzabile come \(p_1(x)\cdot \ldots \cdot p_n(x)\) in \(\mathbb{Q}[x]\).

Quindi stai assumendo che almeno $n-1$ polinomi hanno almeno un coefficiente in $\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$?

(\ \(P(x) = p_1(x) \cdot \ldots \cdot p_n(x) = c_1 \cdot \ldots \cdot c_n \cdot p'_1(x) \cdot \ldots \cdot p'_n(x) = C \cdot p'_1(x) \cdot \ldots \cdot p'_n(x) = C \cdot P'(x) \)

Vado a intuito: i tuoi $p'_i(x)$ sarebbero a cofficienti interi? Quindi $C=\frac{a}{b}$ per qualche intero $a,b$ tali che $\text{gcd}(a,b)=1$?

D'altra parte \(P(x) = h \cdot H(x)\), con \(H(x)\) primitivo e \(h \in \mathbb{Z}\). Eguagliando i due fatti si ottiene \(h \cdot H(x) = C \cdot P'(x)\), con \(P'(x)\) primitivo.

Qui pare hai usato la parte 1 del lemma, quotata sopra, bien.

Visto che i polinomi primitivi non possono, in un certo senso, prendere alcun contributo dalle costanti, l'equazione si spezza in \(h=C\) e \(H(x) = P'(x)\).

Perchè mai dovrebbe essere $h=C$? Oltre il fatto che non sono univocamente determinati..

Dunque \(P(x) = C \cdot P'(x) = h \cdot P'(x) = h \cdot p'_1(x) \cdot \ldots \cdot p'_n(x)\). Ma \(h \in \mathbb{Z}\), perciò \(P(x)\) è fattorizzabile anche in \(\mathbb{Z}\) --> Assurdo.

Se quello che hai detto fosse corretto, e se $h$ fosse maggiore di $1$, allora $P(x)$ sarebbe addirittura non primitivo. Non ti sembra strano?

[Gottinger95]

Mi sono spiegato un po' malino, e probabilmente ho anche sbagliato qualcosa

Che significa? c non è neanche univocamente definito

Sia \( P(x) \in \mathbb{Z}\) un polinomio non primitivo e \(c\) il MCD dei coefficienti. Allora \(P(x) = c \cdot P'(x)\) con \(P'(x) \in \mathbb{Z}\) primitivo.
Se invece \( P(x) \in \mathbb{Q} \) sia \(c=M/L\), con \(L\) il mcm tra i denominatori e \(M\) il MCD dei numeratori dei coefficienti. Allora \(P(x) = c \cdot P'(x)\) con \(P'(x) \in \mathbb{z}\) primitivo.
Mi sembra che sia univoco!

Quindi stai assumendo che almeno n−1 polinomi hanno almeno un coefficiente in Q∖Z?

E' vero, scusa non so perchè ho tirato in ballo n polinomi. Comunque, assumiamo allora che in \(\mathbb{Q}[x]\) sia fattorizzabile come \(a(x) \cdot b(x)\).
Tiro fuori la cosa giusta con quello che ho visto sopra, e ho \(a(x) = A \cdot a'(x),\ \ b(x) = B \cdot b'(x)\) con \(a'(x),b'(x) \in \mathbb{Z}\) primitivi.
Perciò \(P(x) = A \cdot B \cdot a'(x) \cdot b'(x)\). D'altra parte, sempre con la stessa tecnica, \(P(x) = C \cdot P'(x)\), da cui \(A \cdot B \cdot a'(x) \cdot b'(x) = C P'(x)\), o meglio \(a'(x)b'(x) = \frac{C}{AB} P'(x)\).
Visto che il prodotto di due primitivi deve essere primitivo per la prima parte del lemma e che \(P'(x)\) è primitivo, deve essere \(\frac{C}{AB} = 1\).
Perciò \(P'(x) = a'(x) b'(x)\), ossia sarebbe fattorizzabile anche in \(\mathbb{Z}[x]\).
...Cos'è che non quadra?

Se quello che hai detto fosse corretto, e se h fosse maggiore di 1, allora P(x) sarebbe addirittura non primitivo. Non ti sembra strano?

Nell'ipotesi c'è che \(P(x) \in \mathbb{Z}\), non che sia per forza primitivo. Ho capito qualcosa male?

[jordan]

Sia \( P(x) \in \mathbb{Z}\) un polinomio non primitivo e \(c\) il MCD dei coefficienti. Allora \(P(x) = c \cdot P'(x)\) con \(P'(x) \in \mathbb{Z}\) primitivo.Se invece \( P(x) \in \mathbb{Q} \) sia \(c=M/L\), con \(L\) il mcm tra i denominatori e \(M\) il MCD dei numeratori dei coefficienti. Allora \(P(x) = c \cdot P'(x)\) con \(P'(x) \in \mathbb{z}\) primitivo.

Per il futuro, un polinomio $p$ della forma $\sum_{i=0}^n{a_ix^i}$ con coefficienti in un insieme fissato $\mathcal{A}$ (i.e. $a_i \in \mathcal{A}$ per ogni $i=0,1,\ldots,n$) si scrive $p \in \mathcal{A}[x]$

Mi sembra che sia univoco!

Per com'era scritto prima, ero univoco solo il modulo di questi $c$..

...Cos'è che non quadra?

Ora nulla, apposto! Buonanotte

[Gottinger95]

Grazie mille!