Un $n$-agono regolare è inscritto in una circonferenza di raggio unitario. Siano $a_1, \ldots, a_{n-1}$ le distanze di uno dei vertici del poligono da tutti gli altri vertici. Dimostrare che
$$(5-a_1^2)\cdots (5-a_{n-1}^2)=F_n^2$$
dove $F_n$ è l'$n$-esimo numero di Fibonacci.
Fibonacci everywhere
Re: Fibonacci everywhere
Consideriamo le radici n-esime dell'unità. Allora si ha :
$ a_i^2=|1-\zeta^i|^2=(1-\zeta^i)\overline{(1-\zeta^i)}=(1-\zeta^i)(1-\frac{1}{\zeta^i})=-\frac{\zeta^{2i}-2\zeta^i+1}{\zeta^i} $
dove si è sfruttato il fatto che il modulo delle radici n-esime è 1.
Quindi $ 5-a_i^2=\frac{\zeta^{2i}+3\zeta^i+1}{\zeta^i} $.
Ora calcoliamo la produttoria richiesta:
$ \prod_{i=1}^{n-1}(5-a_i^2)=\frac{1}{5}\prod_{i=0}^{n-1}\left(\frac{\zeta^{2i}+3\zeta^i+1}{\zeta^i}\right)$
A questo punto mi sono bloccato perché devo trasformarla per farla diventare $ \left(\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}\right)^2 $ ma non ho idee al momento, si può avere un hint?
$ a_i^2=|1-\zeta^i|^2=(1-\zeta^i)\overline{(1-\zeta^i)}=(1-\zeta^i)(1-\frac{1}{\zeta^i})=-\frac{\zeta^{2i}-2\zeta^i+1}{\zeta^i} $
dove si è sfruttato il fatto che il modulo delle radici n-esime è 1.
Quindi $ 5-a_i^2=\frac{\zeta^{2i}+3\zeta^i+1}{\zeta^i} $.
Ora calcoliamo la produttoria richiesta:
$ \prod_{i=1}^{n-1}(5-a_i^2)=\frac{1}{5}\prod_{i=0}^{n-1}\left(\frac{\zeta^{2i}+3\zeta^i+1}{\zeta^i}\right)$
A questo punto mi sono bloccato perché devo trasformarla per farla diventare $ \left(\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}\right)^2 $ ma non ho idee al momento, si può avere un hint?
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Ido Bovski
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- Iscritto il: 07 mag 2012, 11:51
Re: Fibonacci everywhere
mat94 ha scritto:si può avere un hint?
Testo nascosto:
Re: Fibonacci everywhere
Giusto, basta fattorizzare quella roba e viene:
$ \prod_{i=1}^{n-1}(5-a_i^2)=\frac{1}{5}\prod_{i=0}^{n-1}\left(\frac{\zeta^{2i}+3\zeta^i+1}{\zeta^i}\right)=$$\frac{(-1)^{n-1}}{5}\prod_{i=0}^{n-1}\left(-\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\zeta^i\right)\prod_{i=0}^{n-1}\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\zeta^i\right)= $$\frac{(-1)^{n-1}}{5}\left(\left(-\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^n-1\right)\left(\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^n-1\right)= $
$ \frac{1}{5}\left(\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^n-2(-1)^n\right)= $
$ \left(\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}\right)^2$
Ora funziona?
$ \prod_{i=1}^{n-1}(5-a_i^2)=\frac{1}{5}\prod_{i=0}^{n-1}\left(\frac{\zeta^{2i}+3\zeta^i+1}{\zeta^i}\right)=$$\frac{(-1)^{n-1}}{5}\prod_{i=0}^{n-1}\left(-\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\zeta^i\right)\prod_{i=0}^{n-1}\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\zeta^i\right)= $$\frac{(-1)^{n-1}}{5}\left(\left(-\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^n-1\right)\left(\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^n-1\right)= $
$ \frac{1}{5}\left(\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^n-2(-1)^n\right)= $
$ \left(\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}\right)^2$
Ora funziona?