Trovare tutte le terne (a,b,p) tali che a e b sono interi e p è primo e tali che
\[ a^2-3ab+p^2b^2=12p \]
Un'equazione diofantea
Re: Un'equazione diofantea
Riscriviamo l'equazione come $ a^2+p^2b^2=12p+3ab $
Il secondo membro è congruo a $ 0 $ $ \mod 3 $; quindi lo deve essere anche il primo. Abbiamo al primo membro una somma di quadrati. I residui quadratici $ \mod 3 $ possono essere $ 0 $ o $ 1 $; Quindi deduciamo che entrambi devono essere $ 0 $ per ottenere una somma multiplo di $ 3 $, quindi gli addendi del primo membro sono entrambi multipli di $ 3 $. Quindi di sicuro $ 3|a $ e $ 3|pb $.
Ipotizziamo che $ p $ sia diverso da $ 3 $:
$ a $ e $ b $ devono quindi essere entrambi multipli di $ 3 $ (poichè $ p $ è primo e diverso da 3 non può essere divisibile per 3) quindi possiamo riscrivere l'equazione come:
$ 9a_1^2+9p^2b_1^2=12p+27a_1b_1 $
$ 9a_1^2+9p^2b_1^2-27a_1b_1=12p $
$ 9(a_1^2+p^2b_1^2-3a_1b_1)=12p $ con $ b=3b_1 $ e $ a=3a_1 $.
Il primo membro è multiplo di $ 9 $ mentre il secondo lo è se e solo se $ 3|p $ il che è impossibile.
Ipotizziamo che $ p=3 $:
Otteniamo l'equazione $ a^2-3ab+9b^2=36 $; se sostituiamo $ a $ con $ 3a_1 $ (poichè sappiamo per il ragionamento di prima che $ a $ è multiplo di $ 3 $) otteniamo l'equazione più semplice:
$ a_1^2-a_1b+b^2-4=0 $
Con la formula risolutiva di secondo grado otteniamo $ \Delta=16-3b^2 $ quindi $ -2\le b \le 2 $. Sostituendo i diversi valori di $ b $ otteniamo le coppie $ (a_1;b) $ $ (2;0);(-2;0);(2;2);(-2;-2);(0;2);(0;-2) $.
Tradotte nell'equazione originaria otteniamo le terne $ (a;b;p) $:
$ (6;0;3);(-6;0;3);(6;2;3);(-6;-2;3);(0;2;3);(0;-2;3) $, che sono le uniche terne che risolvono l'equazione (spero
).
Il secondo membro è congruo a $ 0 $ $ \mod 3 $; quindi lo deve essere anche il primo. Abbiamo al primo membro una somma di quadrati. I residui quadratici $ \mod 3 $ possono essere $ 0 $ o $ 1 $; Quindi deduciamo che entrambi devono essere $ 0 $ per ottenere una somma multiplo di $ 3 $, quindi gli addendi del primo membro sono entrambi multipli di $ 3 $. Quindi di sicuro $ 3|a $ e $ 3|pb $.
Ipotizziamo che $ p $ sia diverso da $ 3 $:
$ a $ e $ b $ devono quindi essere entrambi multipli di $ 3 $ (poichè $ p $ è primo e diverso da 3 non può essere divisibile per 3) quindi possiamo riscrivere l'equazione come:
$ 9a_1^2+9p^2b_1^2=12p+27a_1b_1 $
$ 9a_1^2+9p^2b_1^2-27a_1b_1=12p $
$ 9(a_1^2+p^2b_1^2-3a_1b_1)=12p $ con $ b=3b_1 $ e $ a=3a_1 $.
Il primo membro è multiplo di $ 9 $ mentre il secondo lo è se e solo se $ 3|p $ il che è impossibile.
Ipotizziamo che $ p=3 $:
Otteniamo l'equazione $ a^2-3ab+9b^2=36 $; se sostituiamo $ a $ con $ 3a_1 $ (poichè sappiamo per il ragionamento di prima che $ a $ è multiplo di $ 3 $) otteniamo l'equazione più semplice:
$ a_1^2-a_1b+b^2-4=0 $
Con la formula risolutiva di secondo grado otteniamo $ \Delta=16-3b^2 $ quindi $ -2\le b \le 2 $. Sostituendo i diversi valori di $ b $ otteniamo le coppie $ (a_1;b) $ $ (2;0);(-2;0);(2;2);(-2;-2);(0;2);(0;-2) $.
Tradotte nell'equazione originaria otteniamo le terne $ (a;b;p) $:
$ (6;0;3);(-6;0;3);(6;2;3);(-6;-2;3);(0;2;3);(0;-2;3) $, che sono le uniche terne che risolvono l'equazione (spero
).$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.
$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
and then there was light.
$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo