Infiniti primi che terminano con $9$
Infiniti primi che terminano con $9$
Mostrare in modo elementare che esistono infiniti primi che terminano con la cifra $9$.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Infiniti primi che terminano con $9$
La congruenza $x^2\equiv 5$ ha soluzione modulo $p$ primo diverso da 2 e da 5 se e solo se $p\equiv 1,-1$ modulo 5. (reciprocità quadratica).
Suppongo ora che i primi congrui a -1 modulo 5 siano finiti. Sia $P$ il loro prodotto. Allora $4P^2-5$ è congruo a -1 modulo 5 e non ammette divisori primi che siano 2, 5 (facili congruenze) o congrui a 2 o 3 modulo 5 (per quanto detto prima). E non può ovviamente ammettere divisore primo tra quelli che già ho messo dentro a $P$. Ma ciò è assurdo, dato che dovrebbe essere prodotto di primi congrui a 1 mod 5, ma dà resto -1.
È un problema interessante, e ancora più interessante sarebbe capire quali altri rapporti ci siano tra polinomi e primi che li dividono. Tipo, qual è l'idea (c'entrano qualcosa i polinomi) per dimostrare che per ogni $n,a$ tali che $(n,a)=1$ esistono infiniti primi della forma $nx+a$ per qualche $x$? (mi pare sia il teorema di Dirichlet, può essere?)
Suppongo ora che i primi congrui a -1 modulo 5 siano finiti. Sia $P$ il loro prodotto. Allora $4P^2-5$ è congruo a -1 modulo 5 e non ammette divisori primi che siano 2, 5 (facili congruenze) o congrui a 2 o 3 modulo 5 (per quanto detto prima). E non può ovviamente ammettere divisore primo tra quelli che già ho messo dentro a $P$. Ma ciò è assurdo, dato che dovrebbe essere prodotto di primi congrui a 1 mod 5, ma dà resto -1.
È un problema interessante, e ancora più interessante sarebbe capire quali altri rapporti ci siano tra polinomi e primi che li dividono. Tipo, qual è l'idea (c'entrano qualcosa i polinomi) per dimostrare che per ogni $n,a$ tali che $(n,a)=1$ esistono infiniti primi della forma $nx+a$ per qualche $x$? (mi pare sia il teorema di Dirichlet, può essere?)
Re: Infiniti primi che terminano con $9$
Esatto, è un caso speciale del Teorema di Dirichlet. La soluzione completa non è elementare, tuttavia si possono risolvere alcuni casi interessanti come
(P1) Mostrare che per ogni $a\ge 2$ intero esistono infiniti primi $p$ tali che $a\mid p-1$
(P2) Mostrare che per ogni $a\ge 2$ intero esistono infiniti primi $p$ tali che $a\mid p+1$
Il secondo è (molto) piu' difficile, così com'è formulato (e sono abbastanza conosciuti i casi $a=3,4,5$..)
(P1) Mostrare che per ogni $a\ge 2$ intero esistono infiniti primi $p$ tali che $a\mid p-1$
(P2) Mostrare che per ogni $a\ge 2$ intero esistono infiniti primi $p$ tali che $a\mid p+1$
Il secondo è (molto) piu' difficile, così com'è formulato (e sono abbastanza conosciuti i casi $a=3,4,5$..)
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Re: Infiniti primi che terminano con $9$
Il primo è piuttosto noto, penso, con i ciclotomici... 
(e sono anche conosciuti/facili i primi casi)
Anche del secondo sono noti i primi casi, ma non ho mai provato a fare il caso generale...
C'è un "molto più difficile" che spaventa...
P.S: c'è anche una congettura secondo la quale ogni polinomio (con certe condizioni) assume infinite volte un valore primo!
(e sono anche conosciuti/facili i primi casi)Anche del secondo sono noti i primi casi, ma non ho mai provato a fare il caso generale...
C'è un "molto più difficile" che spaventa...
P.S: c'è anche una congettura secondo la quale ogni polinomio (con certe condizioni) assume infinite volte un valore primo!
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)