problema n.4 cesenatico 2002

[toti96]

determinare tutti i valori di $ n $ per cui tutte le soluzioni dell' equazione $ x^3-3x+n=0 $ siano interi.
posto l'esercizio perchè la mia soluzione è molto diversa da quella "ufficiale".
dette $ a,b,c $ le soluzioni riscrivo come $ (x-a)(x-b)(x-c)=0 $ e ottengo il sistema di equazioni:
$ a+b+c=0 $$ $
$ abc=-n $
$ ab+bc+ac=-3 $.ora noto che nessuna delle tre radici può essere $ 0 $ perchè altrimenti le altre due sarebbero irrazionali.moltiplico quindi per $ c $ l'ultima equazione e ho:$ -n+c^2(b+a)=-3c $ e quindi $ c^3-3c=-n $.faccio la stessa cosa con $ a $ e $ b $ e ho adesso:
$ a^3-3a=-n $
$ b^3-3b=-n $
$ c^3-3c=-n $.
sottraendo membro a membro le prime due equazioni ho:$ (a-b)(a^2+b^2+ab-3)=0 $.ora ho due possibilità:o $ a-b=0 $ o lo è il termine in parentesi. se $ a=b $ ho $ c=-2a $ quindi per sostituzione ho $ a^3-3a+8a^3-6a=0 $ cioè $ 9a(a^2-1)=0 $. dato $ a\neq 0 $ ho $ a=\pm 1 $ da cui le soluzioni $ a=1 $ $ b=1 $ $ c=-2 $ ed $ n=2 $ e $ a=-1 $ $ b=-1 $ $ c=2 $ da cui $ n=-2 $. ora ci resta $ a^2+b^2+ab-3=0 $. studiandone il discriminante considerandola un'equazione in $ a $ ho $ \delta=-3b^2+12 $.perchè quella equazione abbia soluzioni debbo avere $ -3b^2+12\geq 0 $ vero nell'intervallo $ [-2;2] $. in questo intervallo i valori interi diversi da $ 0 $ sono solo $ -2,-1,1,2 $. provando $ b=-1,b=1 $ ho anche $ a=-1,a=1 $ ricadendo nel caso di prima mentre notando che l'equazione è simmetrica il caso $ b=-2 $ e $ b=2 $ non si rivela altro che il simmetrico del caso già trattato in precedenza con $ c=-2,2 $. in conclusione ho due valori possibili per $ n $:$ 2 $ e $ -2 $.
può andare anche questa come soluzione o ha un grosso errore di fondo che non vedo??

[Drago96]

Hai scritto tutto molto appiccicato, ma mi pare che funzioni!

[Gottinger95]

Sia \(s\) una soluzione dell'equazione. Visto che deve essere intera, deve dividere n, ossia \(n = s \cdot d\). Si ha:
\(s^3 -3s + sd = 0 \rightarrow s(s^2 -3 + d) = 0\)
Se \(s=0\), significa che \(n = s \cdot d = 0\). Sostituendo ho \(x^3 -3x = 0 \rightarrow x(x^2 - 3) = 0 \rightarrow x=0,\pm\sqrt(3)\) --> Impossibile.
Se \(s \neq 0\), ho che \(s = \pm\sqrt{3-d}\). Perchè \(s\) sia intero, \(d=2\), da cui \(n=sd=\pm\sqrt{3-2}\cdot 2 = \pm2\).

[toti96]

ok devo ammettere che l'idea di Gottinger95 è molto meglio della mia che effettivamente non è esteticamente proprio ben espressa (ringrazio quindi Drago per essersi dato la pena di leggere quello obbrobrio visivo XD)

[andreac]

Sia \(s\) una soluzione dell'equazione. Visto che deve essere intera, deve dividere n, ossia \(n = s \cdot d\). Si ha:
\(s^3 -3s + sd = 0 \rightarrow s(s^2 -3 + d) = 0\)
Se \(s=0\), significa che \(n = s \cdot d = 0\). Sostituendo ho \(x^3 -3x = 0 \rightarrow x(x^2 - 3) = 0 \rightarrow x=0,\pm\sqrt(3)\) --> Impossibile.
Se \(s \neq 0\), ho che \(s = \pm\sqrt{3-d}\). Perchè \(s\) sia intero, \(d=2\), da cui \(n=sd=\pm\sqrt{3-2}\cdot 2 = \pm2\).

Bella, però una cosa mi sfugge (scusatemi, sono fuori dal campo da diversi lustri oramai): come faccio a dire che \(n=\pm2\) sono tutte e le sole che portano ad avere soluzioni intere?

[ndp15]

$ a^3-3a=-n $
$ b^3-3b=-n $
$ c^3-3c=-n $.

Per questo bastava semplicemente dire che a,b,c soddisfano l'equazione.