$x^4+9x^2y^2+27y^4=z^2$

[jordan]

Trovare tutti e soli gli interi $x,y,z$ tali che \[ x^4+9x^2y^2+27y^4=z^2 \]

[Triarii]

Ci provo ma non ne spono sicuro.
Sostituisco $ x^2 $ con $ a $. Poichè $ a^2+9ay^2+27y^4 $ è un quadrato perfetto, il delta dell'equazione deve essere 0.
$ \Delta=\sqrt{-27y^4}=0 \rightarrow y=0. $
Da ciò possiamo quindi ricavare che tutte le soluzioni sono nella forma $ (k;0;\pm k^2) $ con k intero.

[jordan]

Poichè $ a^2+9ay^2+27y^4 $ è un quadrato perfetto, il delta dell'equazione deve essere 0.

Perchè?

[Troleito br00tal]

Ci provo ma non ne spono sicuro.
Sostituisco $ x^2 $ con $ a $. Poichè $ a^2+9ay^2+27y^4 $ è un quadrato perfetto, il delta dell'equazione deve essere 0.
$ \Delta=\sqrt{-27y^4}=0 \rightarrow y=0. $
Da ciò possiamo quindi ricavare che tutte le soluzioni sono nella forma $ (k;0;\pm k^2) $ con k intero.

Ti stai confondendo: devi trovare i valori per cui è un quadrato perfetto, e ovviamente non è detto che lo sia sempre.

Prendi ad esempio $x^2-9$, il cui delta non è $0$, ma per $x=5$ ti ben dà un quadrato...

L'identità polinomiale con un quadrato vale solo se questo deve sempre essere un quadrato.

[Triarii]

Ecco dove era l'errore, grazie mille

[Gottinger95]

Purtroppo non ho tempo di andare ulteriormente avanti, e non sono convinto che porti da qualche parte, ma visto che l'ho scritto tanto vale condividerlo
Scrivo \(a=x^2, \ \ b=y^2\) (quindi \(a,b \geq 0 \) e ottengo:
\(a^2 + 9ab + 27b^2 = z^2 \)
\(a^2 + 9ab + 18b^2 = z^2 - 9b^2 \)
\( (a+3b)(a+6b) = (z+3b)(z-3b) \)
Sostituisco \(A=a+3b, \ \ B= z-3b, \ \ g = 3b \) e ottengo:
\( A(A+g) = B(B+2g) \)
Due osservazioni random:
1) Sia un primo \( p\) tale che \( p\mid d = (A,g)\). Visto che \(p | LHS =RHS = B(B+2g) \Rightarrow p \mid B \) , posso supporre che \((A,g) = 1 \).
Ugualmente posso supporre che \((B,g)=1\).
2) Se esamino modulo g, ottengo \(A^2 \equiv B^2 \pmod{g}\), cioè \(x^2 \equiv z \pmod{3y^2}\), da cui discende anche \(z \not \equiv 2 \pmod 3 \) perchè deve essere un residuo quadratico (N.B.: tutto ciò si poteva benissimo desumere dal testo iniziale ).
3) Sostituendo \(x^2 = 3y^2 + k\), e ponendo \(y \neq 0 \) (per il quale non avrebbe neanche molto senso esaminare il resto) ottengo l'ennesima cosa abbastanza inutile:
\( 3y^2 ( k^2 + 3k + 3 ) = -z(2k+3) \)
che però un paio di cose interessanti le ha. Uno, LHS è sempre positivo, perciò uno e uno solo tra \(z\) e \(2k+3\) deve essere negativo. Due, LHS cresce molto più rapidamente di RHS, e in particolare visto che \(k^2+3k+3 > 2k + 3 \) deve essere che \( 3y^2 < | z | \).
Altro approccio completamente diverso: visto che \(\phi(5) = \phi(8) = \phi(9) = 4\), forse analizzando la prima equazione se ne può cavar qualcosa di buono.
Odio fare i problemi in maniera frammentaria. Argh.
Buonanotte!

[jordan]

Odio fare i problemi in maniera frammentaria. Argh.

Non c'è problema, è già qualcosa (ho letto velocemente, e mi sembra tutto corretto): risparmi lavoro a chi vorrà continuare per la tua strada