Sommatoria infinita degli inversi dei binomiali

[dario2994]

Dimostrare che per ogni $t>1$ intero vale:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \binom{i+t}{t}^{-1}=\frac{1}{t-1} $

[<enigma>]

Visto che è ancora irrisolto, la soluzione brutta è: per induzione si ha
\[\sum _{i=1} ^n \binom{i+t}{t} ^{-1}=\frac 1 {t-1} -\frac {t+n+1}{(t-1) \binom{t+n+1}{n+1}}\]
e per $n \rightarrow \infty$ questo dà il risultato-che, in effetti, è valido anche per $t$ non intero.

[Gottinger95]

Posto una soluzione parziale, che però mi sembra piuttosto insulsa rispetto alla super-veloce di enigma

Trasformo l'LHS:
\( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}{\binom{i+t}{t}^{-1}} = \sum_{i=1}^{\infty}{t! (\prod_{k=1}^t{(i+k)})^{-1}} \)

Usiamo il metodo della scomposizione in frazioni parziali per spezzare i singoli termini:
\(\displaystyle \frac{t!}{(i+1) \cdot \ldots \cdot (i+t) } = \frac{a_1}{i+1} + \ldots + \frac{a_t}{i+t} \)

Moltiplicando per un certo \((i+k)\) e ponendo \(i=-k\), nel RHS si annullano tutti i termini tranne \(a_k\), e otteniamo:
\( \displaystyle a_k = (-1)^{k-1} \frac{t!}{(t-k)!(k-1)!} = (-1)^{k-1} t \binom{t-1}{k-1} \)

Sostituiamo nel testo:
\( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}{\binom{i+t}{t}^{-1}} = \sum_{i=1}^{\infty}{t! (\prod_{k=1}^t{(i+k)})^{-1}} = \sum_{i=1}^{\infty}{ \sum_{k=1}^t{ \frac{ (-1)^{k-1} t \binom{t-1}{k-1}}{i+k} } } = t \sum_{i=1}^{\infty}{ \sum_{k=1}^t{ \frac{ (-1)^{k-1} \binom{t-1}{k-1}}{i+k} } } \)

Questa è una somma telescopica: infatti dal \(t\)-esimo termine il coefficiente di \(\frac{1}{i+k}\) è \(\displaystyle \sum_{k=1}^t{ (-1)^{k-1} \binom{t-1}{k-1} } \), che è notevolmente (domanda fly: quando uso una cosa che è vera ma un nome non ha, dire "notevolmente" è abbastanza ganzo? ) uguale a 0.

L'unica cosa che rimane da dimostrare è che la somma dei primi \((t-1)\) termini fanno \(\frac{1}{t-1}\). Alla prossima ora di chimica provo a risolvere quest'ultima parte

[Gottinger95]

Adesso non so come dimostrare che \(\displaystyle t \sum_{i=1}^{t-1}{ \sum_{k=1}^i {\frac{(-1)^{k-1} \binom{t-1}{k-1}}{i+1} } } = \frac{1}{t-1}\).
Un aiutino? Sempre se qualcuno ha percorso la mia strada / ha voglia di ripercorrerla