52. Parallelismi

[scambret]

Siano C e D due punti sulla semicirconferenza di diametro AB in modo tale che B e C stanno da parti opposte rispetto a AD. Siano M, N e P i punti medi di AC, BD e CD. Siano $O_A$ e $O_B$ i circocentri di ACP e BDP. Mostrare che $O_AO_B$ è parallelo a MN.

[Mist]

Siano C e D due punti sulla semicirconferenza di diametro AB in modo tale che B e C stanno da parti opposte rispetto a AD. Siano M, N e P i punti medi di AC, BD e CD. Siano $O_A$ e $O_B$ i circocentri di ACP e BDP. Mostrare che $O_AO_B$ è parallelo a MN.

Sia $X= CD \cap MO$ Sia $H_A$ il piede dell'asse di $CP$ su $CP$. Ovviamente si ha che $H_A O_A \parallel PO$ e quindi $PXO \sim H_A X O_A$, da cui $\displaystyle \frac{OX}{PX}=\frac{O_A X}{H_A X} = \frac{OO_A}{PH_A}$(1). Allo stesso modo, con le stesse definizioni ed osservazioni, detto $Y= ON \cap PD$ e $H_B$ punto medio di $PD$, si ha che $\displaystyle \frac{OY}{PY} = \frac{OO_B}{PH_B}$ (2). Dividendo e notando che $PH_B = PH_A$ si ottiene che $\displaystyle \frac{OX}{OY}\cdot \frac{PY}{PX} = \frac{OO_A}{OO_B}$ (3).
Detti ora $\hat{AOM} = \alpha$ e $\hat{DON} = \beta$, si ricava che $\displaystyle \hat{PON} = \frac{\pi}{2} -\alpha$ e $\displaystyle \hat{POM} = \frac{\pi}{2} -\beta$ da cui la (3) diventa $\displaystyle \frac{\cos{\alpha}}{\cos{\beta}}=\frac{OO_A}{OO_B}$. Ma valendo anche che $\displaystyle \frac{\cos{\alpha}}{\cos{\beta}} =\frac{r\cos{\alpha}}{r\cos{\beta}} = \frac{OM}{ON}$, si ha che $OMN \sim OO_A O_B$ da cui la tesi.

[scambret]

Bene,molto bene.. vai pure..