53. Un angolo

[Mist]

Sia $O$ il circocentro di un triangolo acutangolo $ABC$. Una circonferenza passante per $A$ e $O$ interseca $AB$ e $AC$ in $P$ e $Q$ rispettivamente. Se $PQ=BC$, trovare la misura dell'angolo tra le rette $BC$ e $PQ$.

[kalu]

L'angolo $\angle BAC$ sul circocerchio e l'angolo $\angle QAP=180-\angle BAC$ sulla crf. per $A$ e $O$ insistono su archi congruenti, quindi per il teorema del seno le due circonferenze hanno lo stesso raggio.
Ne consegue che, detto $O'$ il centro della seconda crf, $\triangle AOO'$ è equilatero, e che $O'$ appartiene al circocerchio.
Ciò che rimane è angle chasing. detto $x$ l'angolo cercato, si ha che:
$$x=180-\angle AQP-\angle ACB=180-\frac{\angle AOP}{2}-\angle ACB=$$$$=180-(90-\angle O'AP)-\angle ACB=90+(60-\angle OAB)-\angle ACB=150-(90-\angle ACB)-\angle ACB=60$$

[Mist]

Bene, vai col prossimo