Stessa forma

[Mist]

Un intero $a$ ha la proprietà che $3a$ può essere scritto nella forma $x^2+2y^2$ per qualche intero $x,y$. Dimostra che anche $a$ può essere scritto in quella forma.

Se è già stato postato chiedo scusa, l'ho cercato ma non l'ho trovato...

[Triarii]

Abbiamo 2 casi: o $ x^2\equiv y^2\equiv 0 (3) $ o $ x^2\equiv y^2 \equiv 1 (3) $
1) Riscrivo come $ 3a=9n^2+18m^2 $, da cui $ a=3n^2+6m^2=n^2+2n^2+2m^2+4m^2=(n+2m)^2-4xy+2n^2+2m^2=(n+2m)^2+2(n-m)^2 $ che è nella forma iniziale
2)Con simili rimaneggiamenti giungo alla forma $ a=2(\pm x_2\pm 2y_2 +1)^2 +2(x_2\pm y_2)^2 $ che è nella forma iniziale.
Si noti che la formula del punto 2 è valida, scegliendo opportunamente i segni, per tutte le classi di congruenza che $ (x,y) $ che rispettano le ipotesi del caso, ossia $ (1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1) $.

[Mist]

Perfetto Si fa anche sfruttando il fatto che $\mbox{det}(A)\cdot \mbox{det}(B) =\mbox{det}(A\cdot B)$ con $A$ e $B$ matrici $2\times 2$...

[Triarii]

Visto che ho appena fatto le matrici e non sono ancora molto esperto, potresti mostrarmi il tuo metodo?