$x^3-x,x^4-x$ interi.

[jordan]

Sia fissato un numero reale $x$ tale che $x^3-x$ e $x^4-x$ sono entrambi interi. Mostrare che $x$ è intero.

[Sir Yussen]

$a=x^3 - x = x(x-1)(x+1) $
$b=x^4- x = x(x-1)(x^2+x+1)$

$a,b \in \mathbb{Z} \Rightarrow b-a \in \mathbb{Z}$
E quindi $A = b-a = x^4 - x^3 = x^3(x-1) \in \mathbb{Z}$.
Ora, se $x = \frac{p}{q}$ con $(p,q)=1$ e $p,q \in \mathbb{Z}$, avrei che $\displaystyle\frac{p^3}{q^3}\frac{p-q}{q} \in \mathbb{Z}$ che è vera se e solo se $q=1$ essendo $(p,q)=1$.
Ora, supponiamo per assurdo $x \in \mathbb{R} / \mathbb{Q}$. Dovremmo avere che $x^3$ e $x^3 \cdot x = x^4$ hanno la stessa parte decimale. Ma questo vuol dire che anche $x^4,x^5$ hanno la stessa parte decimale, e quindi
$x \cdot A \in \mathbb{Z}$, con $A \in \mathbb{Z}$ e $x$ irrazionale, il che è assurdo.
E quindi, $x \in \mathbb{Z}$.

[jordan]

\[ \{x\}=\{a+x\}=\{b+x\} \] da cui $\{x^3\}=\{x^4\}$, ok. Da qui come deduci che ha la stessa parte decimale anche di $x^5$?

[Albertobucci95]

Scusa jordan ma se facciamo $\frac{x^4-x}{x^3-x}=\frac{x^2+x+1}{x+1}$ ridà $x$ con resto 1 potrei affermare che il quoziente nella divisione con resto deve appartenere ancora agli interi e che quindi $x$ è intero? Scusate l'ignoranza in materia...

[Ouroboros]

Scusa jordan ma se facciamo $\frac{x^4-x}{x^3-x}$ ridà $x$ con resto 1 potrei affermare che il quoziente nella divisione con resto deve appartenere ancora agli interi e che quindi $x$ è intero? Scusate l'ignoranza in materia...

C'è qualcosa che non va... $ x+\frac{1}{x^3-x}=\frac{x^4-x^2+1}{x^3-x} $... la divisione in realtà fa $ x+\frac{ x^2-x}{x^3-x} $... volendo si potrebbe continuare da qui (forse...)

[Gottinger95]

Definisco
\(D = (x^4-x)- (x^3-x) = x^3(x-1)\),
\(S= (x^4-x) + (x^3-x) = x^3(x+1)\),
\(\displaystyle G = \frac{S}{D} = 1+\frac{2}{x-1}\).
Se \(S,D \in \mathbb{Z}\), allora \(G \in \mathbb{Q}\), perciò \( \displaystyle \frac{2}{G-1}+1 = x \in \mathbb{Q}\).
Questo, unito alla dimostrazione di sir yussen, dovrebbe portare alla dimostrazione.

[Gottinger95]

Edited: abbastanza cannata, meglio che mi sto zitto

[jordan]

$(S= (x^4-x) + (x^3-x) = x^3(x+1)$

[Ouroboros]

Scusa jordan ma se facciamo $\frac{x^4-x}{x^3-x}=\frac{x^2+x+1}{x+1}$ ridà $x$ con resto 1 potrei affermare che il quoziente nella divisione con resto deve appartenere ancora agli interi e che quindi $x$ è intero? Scusate l'ignoranza in materia...

Temo che tu non possa semplificare con questa leggerezza... se dividi $ x^4-x, x^3-x $ entrambi per x, chi ti garantisce che i due nuovi numeri siano ancora interi? Infatti, non sai ancora che x é intero... e se i due nuovi numeri non lo sono, penso che non valga più quello che dici tu (quoziente = numero intero)

[Albertobucci95]

A già grazie ouroboros credo di aver capito però ancora non mi convinco del tutto perchè se uno semplifica senza condizioni di esistenza male che va salta le tre soluzioni che rendono $x^3-x=0$ e quindi per gli altri valori dovrebbe valere il risultato trovato e poi sostituisco quei valori per vedere se effettivamente con quelli non trovo assurdi no?

[Ouroboros]

A già grazie ouroboros credo di aver capito però ancora non mi convinco del tutto perchè se uno semplifica senza condizioni di esistenza male che va salta le tre soluzioni che rendono $x^3-x=0$ e quindi per gli altri valori dovrebbe valere il risultato trovato e poi sostituisco quei valori per vedere se effettivamente con quelli non trovo assurdi no?

A parte le condizioni di esistenza ( che, come dici, non causano problemi perché posso sostituire i valori e verificare che vanno bene lo stesso), quello che dico io é questo: il quoziente e il resto di una divisione sono interi solo se dividendo e divisore sono interi; nel momento in cui fai la divisione fra polinomi, tuttavia, operi una semplificazione, ovvero dividi entrambi i membri per un numero... o meglio, per un fattore comune, che in questo caso é l'incognita x; dal momento che non sai se x é intero, non puoi affermare che i due numeri semplificati siano interi, perciò non puoi neanche dire che il loro quoziente sia un numero intero.
Credo che se vuoi continuare questo ragionamento ( ma non so se é possibile), devi considerare la divisione senza semplificazioni ( quella che avevo scritto nel primo messaggio; in pratica consideri la divisione come $ \frac{x(x^3-x)}{x^3-x}+\frac{x^2-x}{x^3-x} $, solo nel primo caso puoi semplificare perché $ x^3-x $ é intero). Ora, devi dimostrare che il resto é intero... e sei praticamente al punto di partenza, hai solo abbassato di grado ( se il resto non fosse intero, non ci sarebbero soluzioni accettabili, dovresti scartare la dimostrazione)

[Albertobucci95]

Perfetto grazie mille

[Gottinger95]

Io una soluzione bruttina ce l'ho, però la posto lo stesso. Siano \(P(x)=x^4-x, Q(x) = x^3 - x\). Per Bezout, abbiamo \(P(x) - xQ(x) = x(x-1)\).
Visto che questa è un'equazione di secondo grado a coefficienti interi e con il coefficiente di \(x^2\) uguale a 1, abbiamo che \(x\) deve essere della forma
\(\displaystyle \frac{a+b\sqrt{n} }{2}\), con \(a,b \in \mathbb{Z} \) e con \(n \in \mathbb{N} \) libero da quadrati (ossia tutto quello che potevamo portare fuori dalla radice lo abbiamo portato e sta in \(b\) ). Poniamo per assurdo che \(b \geq 1, n \geq 2\), ossia che \(x\) abbia una parte irrazionale.

Sostituiamo questo valore di \(x\) in \(Q(x)\) e abbiamo:
\(\displaystyle Q(x) = \frac{(a+b\sqrt{n})^3 }{8} - \frac{a+b\sqrt{n} }{2} = \frac{a^3 + ab^2n -4a + a^2b\sqrt{n} + b^3n\sqrt{n} - 4b\sqrt{n} }{8}\)
Visto che \(Q(x)\) deve essere intero, il coefficiente di \(\sqrt{n}\) deve essere 0. Perciò abbiamo:
\(a^2b + b^3n - 4b = 0 \Rightarrow a^2 + b^2n - 4 = 0 \Rightarrow a^2 = 4- b^2 n \)
Dunque \(b^2n =0,1,3,4\). Visto che \(n \geq 2\), l'unica soluzione possibile è \(n=3, b=1\), da cui segue \(a=1\). Sostituendo \(\displaystyle x= \frac{1+\sqrt{3} } {2}\) in \( P(x)\) ottengo un numero non intero, Assurdo.

Dunque \(x = \frac{c}{2}\) con \(c \in \mathbb{Z}\). Sostituendo \(x\) in \(P(x) - Q(x) = x^3(x-1)\) e ho:
\( P(x) - Q(x) = \frac{c^3(c-2)}{16} \)
Se \(c\) è dispari, allora evidentemente il numeratore è dispari, Assurdo. Perciò \(c\) è pari, dunque \(x\) è intero.

[jordan]

Chi ti assicura che $n\ge 0$?

[Gottinger95]

Non faccio altro che imbruttire la mia soluzione, ma continuo. Supponiamo che \(x=a+ib \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}\).
Unendo i fatti:
\(Im(x^3 - x) = 0 \)
\(Im(x^4-x) = 0\)
ottengo una sola soluzione in \(a,b\), (che mi pare siano tipo \(a=3/4, b=\pm \sqrt{11/48} \) ) ,che sostituita in \(Re(x^3 -x)\) mi dà un numero reale, impossibile. Perciò \(x \in \mathbb{R}\), che assicura \(n \geq 0\).