Somme cicliche (quasi) uguali

[Gottinger95]

Trovare le soluzioni intere \((a,b,c)\) di

\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{2}\)

con \(a,b,c \geq 3\).

P.S: C'è un modo sporco qui sotto per farlo (probabilmente il più veloce), ma c'è un procedimento un po' meno bovino?

Testo nascosto:

Dividendo in casi rispetto a una variabile diventa in due variabili, però sono un po' di conti!

[Lasker]

Provo con il metodo "bovino"
Prima di tutto, impongo WLOG$\longrightarrow$ $ a\leq b\leq c $
Ora, $a$ può assumere al massimo il valore di $6$, altrimenti non sarebbe il minore dei tre
Dunque, con $3\leq a\leq 6$, distinguiamo quattro casi:
1)$a=3$

$ \displaystyle\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{6} $

Esistono 5 soluzioni accettabili
$b=7$ $c=42$

$b=8$ $c=24$

$b=9$ $c=18$

$b=10$ $c=15$

$b=12$ $c=12$

2)$a=4$

$\displaystyle\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{4}$

Esistono 3 soluzioni accettabili
$b=5$ $c=20$

$b=6$ $c=12$

$b=8$ $c=8$

3)$a=5$

$\displaystyle\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{10}$

Esiste una soluzione accettabile
$b=5$ $c=10$

4)$a=6$

$\displaystyle\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}$

L'unica soluzione accettabile è
$b=6$ $c=6$

Dunque, ricapitolando, le $10$ soluzioni (a meno di permutazioni dei valori delle incognite) dovrebbero essere $ (3;7;42)(3;8;24)(3;9;18)(3;10;15)(3;12;12)(4;5;20)(4;6;12)(4;8;8)(5;5;10)(6;6;6) $

[Gottinger95]

Ah, comunque questa era la seconda parte di un problema della gara a squadre di Cesenatico. Il problema è questo:
Si prenda un triangolo ABC, e si costruiscano dei rettangoli ABDE, BCFG, CAHI sui tre lati. Per quanti triangoli (a meno di similitudini) è possibile costruire tre poligoni regolari \(A_1, A_2, A_3\) in modo che :
tre vertici consecutivi di \(A_1\) siano\(A, E, H\);
tre vertici consecutivi di \(A_2\) siano \(B, D, G\);
tre vertici consecutivi di \(A_3\) siano \(C, F,I\) ?
Chi vuole può anche dimostrare che i 2 problemi sono equivalenti.

P.S. @Lasker: non ho i calcoli con me, però a meno che non ti sia perso qualche soluzione è giusta!

[auron95]

1)$a=3$

$ \displaystyle\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{6} $

Esistono 5 soluzioni accettabili
$b=7$ $c=42$

$b=8$ $c=24$

$b=9$ $c=18$

$b=10$ $c=15$

$b=12$ $c=12$

Mumble mumble... non vi ricorda il problema 1 di Cesenatico?

[Lasker]

Mumble mumble... non vi ricorda il problema 1 di Cesenatico?

Ma... è vero!
Non me ne sono accorto perché non ho fatto la gara individuale, potevo risparmiarmi un po' di conti