Sequenze e partizioni dei numeri

[Gottinger95]

Sia \(\{a_n\}\) una serie tale che \(a_{i+1} = a_i \pm 1 \) e che \(a_i >0 \) per ogni \(i \geq 1 \). Sia \(S_n = a_1 + \ldots + a_n \).

Si fissino due interi \(M_a,M_b\) tali che :
1. \(max\{a_i\} \leq M_a\)
2. \(n \leq M_b\)

Per quali \(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\) scegliere gli \(a_i\) in modo che per qualche \(n\) si abbia \(S_n = k\) ?

P.S. Interpretazione geometrica:
Consideriamo un piano cartesiano, e in questo il rettangolo che ha per vertici \((0,0),\ \ (0,M_a),\ \ (M_b,0),\ \ (M_b, M_a)\). Consideriamo i punti a coordinate intere in questo rettangolo. Per quali \(k\) è possibile colorare \(k\) di questi punti in modo tale che il numero di punti colorati di due colonne (i.e. rette parallele all'asse y) successive non differisca mai di più di uno?

[kitsune]

Temo di non aver capito la domanda perche' mi pare davvero banale:

Dato che ogni elemento deve essere maggiore di zero
$ a_1=1 $
$ a_2=2 $

Adesso, come fa una somma di numeri positivi $ 1+2+... $ ad essere uguale a $ 2 $?
Provando i casi piccoli nemmeno 4 si riesce ad ottenere, adesso sto pensando per valori generici di $ k $ quando si riesce e quando no

p.s.
non ho capito cosa intendi dire sulla disposizione di icone sul desktop

[auron95]

Anch'io non comprendo: se io posso scegliere come mi pare gli $a_i$, non posso scegiere il primo uguale a k e poi prendere $S_1$?

[kitsune]

Boh, io ho dato per ovvio che $ a_1=1 $ perchè altrimenti non mi sembrava avere molto senso

[auron95]

In tal caso direi che si può $\forall k \in \mathbb N \setminus \{0,2,5\}$.
Non lo dimostro ora perché sto scrivendo da cellulare, ma è abbastanza semplice...

[Gottinger95]

Scusatemi, l'ho scritto di fretta e mi sono dimenticato una limitazione. Edito subito.

[auron95]

Ok, c'è solo un'ultima cosa che non mi quadra: preso il rettangolo posso anche lasciare delle colonne vuote alla fine (non devo cioè per forza usarle tutte) giusto?

[xXStephXx]

Se ho capito bene il testo dovresti usare tutte le colonne ( $a_i>0$ ) e inoltre seguendo l'interpretazione geometrica mi sa che vanno esclusi gli assi, altrimenti ci sarebbe una colonna ed una riga in più.

[Gottinger95]

Se il rettangolo ha dimensioni \(M_a, M_b\), allora ci sono \(M_b\) colonne alte \(M_a\) disponibili, ossia non è necessario usarle tutte.

[xXStephXx]

Allora mi sa che ancora non ho capito il testo La quantità $a_i$ corrisponde al numero di punti presi sulla colonna $i$?
Se è così (escludendo la limitazione $a_i>0$) risulta per caso che:

Testo nascosto:

Con $M_b$ dispari si possono ottenere tutti i $k$ che vanno da $\displaystyle \bigg \lfloor \frac{M_b}{2} \bigg \rfloor $ fino a
$\displaystyle M_a \cdot M_b - \bigg \lfloor \frac{M_b}{2} \bigg \rfloor$
Con $M_b$ multiplo di $4$ tutti i $k$ pari in quell'intervallo, mentre con $M_b$ pari ma non multiplo di $4$ tuti quelli dispari in quell'intervallo

Ma probabilmente ho capito una cosa per un'altra...

[Gottinger95]

Non ho capito cosa non ti è chiaro
I numeri da 1 a \(M_a\) per esempio si fanno facilmente: basta colorare solo i puntini di una colonna.
Poi di certo si fanno anche quelli della forma \(2n+1\) con \(1 \leq n \leq M_a - 1\), prendendo due colonne consecutive.
Eccetera eccetera eccetera. Spero di essermi spiegato meglio, scusate ma ho il vizio di essere poco chiaro!