Cosa facile ma ben bella

[Troleito br00tal]

Risolvere negli interi positivi:
\begin{equation}
(x+y)(x^2+y^2)=x^2y^2
\end{equation}

Il problema non è stato pensato per i pro.

[LeZ]

Mi rendo conto che questa non sia la strada più veloce.
Chiamo $ x+y=a $, e $ xy=b $. La nuova equazione sarà dunque $ a(a^2-2b)=b^2 $, da cui $ b=ka $ e quindi $ a=k^2+2k $ (semplificando) e $ b=k^3+2k^2 $. Ora se considero l'equazione di secondo grado $ x^2-ax+b=0 $ con $ a $ e $ b $ scelti sopra, si tratta di capire per quali valori di $ a $ e $ b $, essa ha soluzioni intere. Se sostituisco ad $ a $ e $ b $ i valori trovati prima ho che, $ x^2-(k^2+2k)x+k^3+2k^2=0 $. Affinché tale equazione abbia soluzioni intere, il Delta deve essere sicuramente un quadrato perfetto, e visto che $ \Delta = k^4-4k^2 $, esso lo è esclusivamente per $ k=0 e k=2 $. Da cui le coppie $ (x,y), (0,0) $ e $ (4,4) $, di cui solo quest'ultima è soluzione perché non nulla.

[Ido Bovski]

$ a(a^2-2b)=b^2 $, da cui $ b=ka $

perché?


Bonus. Determinare tutte le quaterne $(x, y, m, n)$ di interi positivi tali che $\displaystyle\prod_{j=1}^m (x^j+y^j)=(xy)^n$.

[auron95]

Provo con un altra strada. Supponiamo per assurdo che $x\ne y$, allora $\exists p$ t.c. $v_p(x) \ne v_p (y)$.
Sia ora $a=v_p(x), b=v_p(y), a<b$ WLOG

Ottengo che $v_p(x+y)+v_p(x^2+y^2)=2v_p(x)+2v_p(y)$

Essendo $a<b$, la somma di due termini con valutazione diversa ha valutazione pari alla minore delle due.
Diventa quindi $a+2a=2a+2b \Rightarrow a=2b\ge b$ assurdità.

Quindi $x=y$ l'equazione diventa $4x^3=x^4$ da cui $x=y=4$.

[Troleito br00tal]

Provo con un altra strada. Supponiamo per assurdo che $x\ne y$, allora $\exists p$ t.c. $v_p(x) \ne v_p (y)$.
Sia ora $a=v_p(x), b=v_p(y), a<b$ WLOG

Ottengo che $v_p(x+y)+v_p(x^2+y^2)=2v_p(x)+2v_p(y)$

Essendo $a<b$, la somma di due termini con valutazione diversa ha valutazione pari alla minore delle due.
Diventa quindi $a+2a=2a+2b \Rightarrow a=2b\ge b$ assurdità.

Quindi $x=y$ l'equazione diventa $4x^3=x^4$ da cui $x=y=4$.

Uguale alla mia (qualcuno si cimenta, una volta vista questa, a provare la generalizzazione?)

[LeZ]

$ a(a^2-2b)=b^2 $, da cui $ b=ka $

perché?

Basta sviluppare i prodotti.. oppure (in maniera brutale) analizzando il Delta viene se non ricordo male $ b=a(\sqrt{a+1}-1) $

[Ido Bovski]

$ a(a^2-2b)=b^2 $, da cui $ b=ka $

perché?

Basta sviluppare i prodotti.. oppure (in maniera brutale) analizzando il Delta viene se non ricordo male $ b=a(\sqrt{a+1}-1) $

Bien, per come avevi scritto sembrava avessi concluso una cosa del tipo $a\mid b^2 \Rightarrow a\mid b$.

Affinché questo post non sia inutile, hinto anche una strada alternativa per la soluzione (sia del problema iniziale, sia del bonus).

Testo nascosto:

Sia $\gcd(x, y)=d$, poniamo allora $x=x'd$ e $y=y'd$...