Somma di cento numeri

[relue123]

La somma di 100 numeri reali é zero.Provare che almeno 99 somme di due numeri presi da questi 100 numeri sono non-negative.

[Sir Yussen]

Sti reali son tutti diversi tra loro, o c'è comunque qualche vincolo che impedisce loro di essere tutti uguali a 0?

[relue123]

Il testo da cui l'ho preso lo presenta paro,paro cosi il problema.Anche se ,credo ,che un vincolo é che l' insieme di questi 100 numeri può contenere al massimo 98 numeri che sono uguali a zero.Per quanto rigurda se sono uguali o no,il testo non dice nulla,ma anche qui é corretto il fatto che possono essere al massimo 99 numeri uguali fra loro.L'esercizio nell' esposizione di ciò che chiede ha tralasciato questi vincoli,forse perché per ciò che chiedeva gli sembrasse ovvio che tali vincoli eano sottointesi.Comunque provate a risolverlo perché é davvero simpatico l' esercizio.

[auron95]

Mmh... ma sbaglio o se ho 98 zeri, un reale positivo e il suo opposto ho solo 98 somme positive?

[relue123]

scusate non dovvano essere per forza positive ma anche zero.Frainteso il testo in inglese,ora corretto.

[Gottinger95]

Siano \(x_1, \ldots, x_n\) quei numeri reali tali che \(x_1 + \ldots + x_n = 0\)
Consideriamo la somma di tutte le somme a coppie:

\(\displaystyle \sum_{i<j}^n{x_i + x_j} = \sum_{i=1}^{n-1} { \sum_{k=1} ^{n} {(x_k + x_{k+i})/2 } } = \sum_{i=1}^{n-1} {\sum_{k=1} ^{n} {x_k} } \)

Il membro a sinistra ci dice che abbiamo preso tutte le coppie; il membro a destra ci dice che ogni termine della sommatoria in \(i\) è uguale a 0.
Abbiamo perciò \(n-1\) addendi uguali a 0: in ognuno di questi, visto che la somma è 0, ci deve essere un termine nonnegativo. Perciò abbiamo \(n-1\) termini nonnegativi, che è la tesi.

Non so se mi sono spiegato xD

Piccolo Bonus: Siano \(x_1, \ldots, x_n\) numeri reali di somma \(S\). Dimostrare che ci sono almeno \(\binom{n-1}{k-1}\) somme di \(k\) numeri maggiori o uguali a \(S\).