75! $\mathbb{C}$omplessi!!! Ahahahah.. Funzionale, al solito

[scambret]

Trovare tutte le $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$$f(x+y)f(x-y)=[f(x)+f(y)]^2-4x^2f(y)$$

[arack]

Provo a risolverla, ma è la prima funzionale, sii paziente

Partiamo dal caso $ x = 0 $ $ y = 0$, abbiamo che:
$f(0)^2 = 4f(0)^2$
$f(0) = 0$

Ora considero il caso $ x = y $:
$ f(2x)f(0) = (2f(x))^2 - 4x^2f(x)$
$ f(x) = x^2 $

I conti tornano ma sono un tantino scettico, ho dimenticato qualcosa vero?

[scambret]

Provo a risolverla, ma è la prima funzionale, sii paziente

Qualche volta sono stato sgarbato?? Scusatemi..

However tu poni $x=y=0$ e ottieni $f(0)=0$
Poi quando poni $x=y$ ottieni $f(2x)f(0)=4f(x)^2-4x^2f(x) \Rightarrow 0=4f(x)[f(x)-x^2] \Rightarrow 0=f(x)[f(x)-x^2] \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ quindi ora puoi non puoi semplificare $f(x)$ perchè non è detto che $f(x)=0 \Rightarrow x=0$. Cioè in sostanza la funzione può
- essere sempre $x^2$
- essere sempre 0
- assumere (per alcuni valori di x) il valore 0, e per altri il valore $x^2$ e devi escludere questo caso..

Ok, si è molto confusionario, ma sono le 6 se non ti è chiaro qualcosa chiedi

Ps alla fin fine se consideri $g(x)=\lfloor x \rfloor$ hai infiniti valori che rendono $g(x)=0$ e infiniti che rendono $g(x) \neq 0$ e nel nostro caso te dovresti dimostrare che $f(x)=0$ per ogni x reale oppure $f(x)=x^2$ per ogni x reale.

Pps quella funzione è la funzione parte intera, che serve a troncare i numeri tipo $g(0,9)=0$

[arack]

Qualche volta sono stato sgarbato?? Scusatemi..

Lo dicevo perché con me ci vuole molta pazienza

- assumere (per alcuni valori di x) il valore 0, e per altri il valore $x^2$ e devi escludere questo caso..

Proviamoci:

Siccome $ f(x) = 0 \vee f(x) = x^2 $ si ha che la funzione è pari(o volendo si può porre $x = 0, y \neq 0$ e si giunge alla stessa conclusione).

Poniamo $ x \neq y \neq 0 ;$ $ f(x) = x^2 ;$ $ f(y) = 0 $ e facciamo i calcoletti:
$f(x+y)f(x-y) = (x^2+0)^2 - 0 = x^4$
$f(y+x)f(y-x) = (0+x^2)^2 - 4 y^2 f(x) = x^4 - 4 y^2 x^2$

Dunque si ha che:
$x^4 = x^4 - 4 y^2 x^2$
$x = 0 \vee y = 0$ contro ipotesi, ergo o $f(x) = 0$ o $f(x) = x^2$.

Pps quella funzione è la funzione parte intera, che serve a troncare i numeri tipo $g(0,9)=0$

L'avevo vista un paio di volte ma mai capito il significato

[scambret]

Funzione pari significa $f(x)=f(-x) \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$
Ora considera questa funzione.. $f(x)=x^2 \Leftrightarrow x\geq 0$ o $f(x)=0 \Leftrightarrow x<0$. Ma questa non è pari. Quindi come dimostro la parità?

[arack]

Funzione pari significa $f(x)=f(-x) \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$
Ora considera questa funzione.. $f(x)=x^2 \Leftrightarrow x\geq 0$ o $f(x)=0 \Leftrightarrow x<0$. Ma questa non è pari. Quindi come dimostro la parità?

Si, mi sono fatto prendere un po' dall'euforia
Ecco la dimostrazione della parità:

Poniamo $x = 0;$ $ y \neq 0$, abbiamo che
$f(y) f(-y) = f(y)^2$
$f(y) [f(y) - f(-y)] = 0$

$f(x) \neq 0 \Rightarrow f(x) = f(-x)$

Poniamo $ y = - x ;$ $ x \neq 0 ;$ $f(x) = 0$:
$f(0) f(2x) = [f(x) + f(-x)]^2 - 4 x^2 f(-x)$
$0 = f(-x)^2 - 4 x^2 f(-x)$
$f(-x)[f(-x) - 4 x^2] = 0$

$f(-x) = 0 \vee f(-x) = 4 x^2$, ma sappiamo anche che $f(-x) = 0 \vee f(-x) = x^2$, otteniamo in ogni caso che $f(-x) = 0 = f(x)$

$f(x) = 0 \Rightarrow f(x) = f(-x)$

[scambret]

Poniamo $x = 0;$ $ y \neq 0$, abbiamo che
$f(y) f(-y) = f(y)^2$
$f(y) [f(y) - f(-y)] = 0$

$f(x) \neq 0 \Rightarrow f(x) = f(-x)$

Se $f(y) \neq 0$ funziona

Ora se $f(y)=0$

Poniamo $ y = - x ;$ $ x \neq 0 ;$ $f(x) = 0$:
$f(0) f(2x) = [f(x) + f(-x)]^2 - 4 x^2 f(-x)$
$0 = f(-x)^2 - 4 x^2 f(-x)$
$f(-x)[f(-x) - 4 x^2] = 0$

$f(-x) = 0 \vee f(-x) = 4 x^2$, ma sappiamo anche che $f(-x) = 0 \vee f(-x) = x^2$, otteniamo in ogni caso che $f(-x) = 0 = f(x)$

$f(x) = 0 \Rightarrow f(x) = f(-x)$

Bene la parita l abbiamo sistemata..

[scambret]

Bene corretta la parità funziona bene a te il timone

[arack]

bene a te il timone

Beh ora dovrebbe essere finita, se non ho sbagliato altro

[scambret]

Anche se mi sono messo di impegno non ho trovato altri errori

[scambret]

Ma la staffetta è morta?? @arack dovresti proporre un problema

[Tess]

Ma la staffetta è morta?? @arack dovresti proporre un problema