Eh va là ma possono essere molto distanti!

[Gottinger95]

Own (semplice ma carino). Sia \(W(n)\) la massima differenza fra due primi consecutivi minori di \(n\). Dimostrare che \(W(n)\) non ha limite superiore.

[jordan]

Se sai anche la definizione di limite superiore, pare simpatico che abbia definito own l'esercizio

Tanto per non rendere inutile il post:
Mostrare che per ogni $0<\varepsilon<1$ esiste una costante positiva $C\ge 3$ tale che per ogni $n\ge C$ esistono due primi consecutivi $2\le p_1 < p_2 \le n$ che verificano:
\[ p_2 - p_1 \ge \left(\ln n\right)^\varepsilon . \]

Ps. Ci sono tantissimi articoli che trattano stime sulla differenza di primi consecutivi, questa è solo una versione molto semplificata..

[<enigma>]

Mostrare che per ogni $0<\varepsilon<1$ esiste una costante positiva $C\ge 3$ tale che per ogni $n\ge C$ esistono due primi $2\le p_1 < p_2 \le n$ che verificano:
\[ p_2 - p_1 \ge \left(\ln n\right)^\varepsilon . \]

Aggiungo: "senza usare il teorema dei numeri primi"! Altrimenti quella stima ce l'hai anche senza $\varepsilon$! Inoltre è meglio specificare che $p_1$ e $p_2$ sono consecutivi, se no $p_1=2$ e $p_2=p_{\pi(n)}$...

P.S. A quanto ne so il miglior risultato noto finora è di Rankin: \[ p_{n+1}-p_n \geq (e^\gamma-\varepsilon) \log p_n \log \log p_n \log \log \log \log p_n (\log \log \log p_n)^{-2} \] infinite volte (anche se non implica comunque la tesi del problema).

[jordan]

Si, senza il PNT, e senza neanche approssimazioni di Stirling e roba varia; è una stima completamente elementare (se mi dici che addirittura quella di sopra non implica la mia, allora la devo ricontrollare, che fare i conti all'una di notte non è molto indicato..)

Ps. Hai ragione, devono essere consecutivi, altrimenti diventa banale: considerato il Postulato di Bertrand, vale $\max_{2\le p_2 < p_1 \le n}{\left(p_2-p_1\right)} \ge \frac{n}{2}-2$, con $C\ge 6$..

[<enigma>]

No, più semplicemente perché dipende da $p_k$ e la tua da $n$, ma ora che mi ci fai pensare si può convertire in una stima in funzione di $n$ con Bertrand

[jordan]

Il risultato di Rankin assicura che quella disuguaglianza risulta verificata per infiniti valori di $n$, non tutti; se non fosse così, mostrerebbe che i primi gemelli sono in numero finito Comunque si' , Bertand o PNT nella forma $p_n \sim n\ln n$, possono "convertire" quelle stime. Qui invece c'è un po' di tutto: quello che si sta cercando è un lower bound su $G(N)$; la congettura piu' recente pare
\[ G(N) \sim (\ln N)^2 \]
che, per quanto scema, è abbastanza simile alla mia

[Gottinger95]

Intendevo primi consecutivi. Scusate se non sapevo che era scontato che non ci fosse limite alla differenza tra due primi consecutivi! Però non c'è bisogno di arrabbiarsi, eh.. .
In ogni caso, chissà perchè già immaginavo di non aver trovato un fatto rivoluzionario riguardo alla distribuzione dei numeri primi