Satana fantea

[Troleito br00tal]

Sia $p$ un numero primo e siano $n$ e $x$ interi positivi. Trovare tutti gli $n$ tali che:
\begin{equation}
n=\frac{x^2+x}{2}=2p^3-3p+1
\end{equation}

[scambret]

Il mio nuovo mito sei quand è che ti è venuta in mente??

[Troleito br00tal]

Ahah boh, ieri mattina

[darkcrystal]

Up! E' un problema carino (e non solo per i numeri nella soluzione... )

[scambret]

In realtà non avendo particolari idee l'ho fatto proprio bovinamente, ma se nessuno darà una soluzione, posterò la mia tra esattamente $p$ giorni

[LeZ]

Fornisco un'idea. La mia soluzione però è alquanto brutta!
Invece di scriverla come $ x(x+1)=2(p-1)(2p^2+2p-1) $ scrivila come $ (x-1)(x+2)=2p(2p^2-3) $. Perchè? Cosa posso dire di $ p $? Che casi distinguo?

[scambret]

I $p$ giorni sono passati.. metto la mia come testo nascosto, cosi se qualcuno ha metodi più carini..

Testo nascosto:

Risolviamo intanto $$x^2+x=2(2p^3-3p+1)$$

A mano si testano $p =\{2,3,5 \}$ che non danno soluzioni, quindi $p \geq 7$

Ora,possiamo far diventare il testo $$(x+2)(x-1)=2p(2p^2-3)$$

quindi distinguo due casi molto simili:

1) $p \mid x-1$

in questo caso $x-1=kp$ e $x+2=kp+3$. Mettiamo tutto nel testo e ottengo $k(kp+3)=2(2p^2-3)$. Modulo $p$ ottengo $3k+6 \equiv 0 \pmod p$ e dato che $(3,p)=1$ allora $k=ap-2$ con $a \geq 1$. Rimettiamo l'ultima cosa trovata e otteniamo $(ap-2)(ap^2-2p+3)=2(2p^2-3)$. Ora se $a \geq 2$ e ricordando che $p \geq 7$ abbiamo una disuguaglianza larghissima, cioè $2(2p^2-3)=(ap-2)(ap^2-2p+3) \geq (2p-2)(2p^2-2p+3) \geq 12(2p^2-2p+3)$ e quindi $2p^2-3 \geq 12p^2-12p+18$ che non è mai verificata. Perciò $k=p-2$. Anche qui $(p-2)(p^2-2p+3)=2(2p^2-3)$ e di nuovo $p-2 \geq 5$ quindi $2(2p^2-3)=(p-2)(p^2-2p+3) \geq 5p^2-10p+15$ e quindi $4p^2-6 \geq 5p^2-10p+15$ e quindi $p =\{3,5,7 \}$ ma dato che $p \geq 7$, allora l'unico $p$ che potrebbe funzionare è $p=7$ che da $k=5$, $x=36$ e $n=666$.

2) $p \mid x+2$

in questo caso $x-1=kp-3$ e $x+2=kp$. Mettiamo tutto nel testo e ottengo $k(kp-3)=2(2p^2-3)$. Modulo $p$ ottengo $3k-6 \equiv 0 \pmod p$ e dato che $(3,p)=1$ allora $k=ap+2$ con $a \geq 0$. Rimettiamo l'ultima cosa trovata e otteniamo $(ap+2)(ap^2+2p-3)=2(2p^2-3)$. Se valesse $a=0$ ottengo banalmente $p = \{0,1 \}$ che è impossibile. Perciò $a \geq 1$. Con $a \geq 1$ e usando il fatto che $p+2 \geq 9$ ottengo $2(2p^2-3)=(ap+2)(ap^2+2p-3) \geq (p+2)(p^2+2p-3) \geq 9(p^2+2p-3)$ e quindi $4p^2-6 \geq 9p^2+18p-27$, ma anche questa è banalmente non verificata.

[Troleito br00tal]

I $p$ giorni sono passati.. metto la mia come testo nascosto, cosi se qualcuno ha metodi più carini..

Testo nascosto:

Risolviamo intanto $$x^2+x=2(2p^3-3p+1)$$

A mano si testano $p =\{2,3,5 \}$ che non danno soluzioni, quindi $p \geq 7$

Ora,possiamo far diventare il testo $$(x+2)(x-1)=2p(2p^2-3)$$

quindi distinguo due casi molto simili:

1) $p \mid x-1$

in questo caso $x-1=kp$ e $x+2=kp+3$. Mettiamo tutto nel testo e ottengo $k(kp+3)=2(2p^2-3)$. Modulo $p$ ottengo $3k+6 \equiv 0 \pmod p$ e dato che $(3,p)=1$ allora $k=ap-2$ con $a \geq 1$. Rimettiamo l'ultima cosa trovata e otteniamo $(ap-2)(ap^2-2p+3)=2(2p^2-3)$. Ora se $a \geq 2$ e ricordando che $p \geq 7$ abbiamo una disuguaglianza larghissima, cioè $2(2p^2-3)=(ap-2)(ap^2-2p+3) \geq (2p-2)(2p^2-2p+3) \geq 12(2p^2-2p+3)$ e quindi $2p^2-3 \geq 12p^2-12p+18$ che non è mai verificata. Perciò $k=p-2$. Anche qui $(p-2)(p^2-2p+3)=2(2p^2-3)$ e di nuovo $p-2 \geq 5$ quindi $2(2p^2-3)=(p-2)(p^2-2p+3) \geq 5p^2-10p+15$ e quindi $4p^2-6 \geq 5p^2-10p+15$ e quindi $p =\{3,5,7 \}$ ma dato che $p \geq 7$, allora l'unico $p$ che potrebbe funzionare è $p=7$ che da $k=5$, $x=36$ e $n=666$.

2) $p \mid x+2$

in questo caso $x-1=kp-3$ e $x+2=kp$. Mettiamo tutto nel testo e ottengo $k(kp-3)=2(2p^2-3)$. Modulo $p$ ottengo $3k-6 \equiv 0 \pmod p$ e dato che $(3,p)=1$ allora $k=ap+2$ con $a \geq 0$. Rimettiamo l'ultima cosa trovata e otteniamo $(ap+2)(ap^2+2p-3)=2(2p^2-3)$. Se valesse $a=0$ ottengo banalmente $p = \{0,1 \}$ che è impossibile. Perciò $a \geq 1$. Con $a \geq 1$ e usando il fatto che $p+2 \geq 9$ ottengo $2(2p^2-3)=(ap+2)(ap^2+2p-3) \geq (p+2)(p^2+2p-3) \geq 9(p^2+2p-3)$ e quindi $4p^2-6 \geq 9p^2+18p-27$, ma anche questa è banalmente non verificata.

Bene!

[darkcrystal]

Ok! Lascio un hint per un altro approccio:

Livello 1:

Testo nascosto:

Calcolare il disciminante dell'equazione di secondo grado - $ D=9-24 p+16 p^3 $. Dev'essere un quadrato. Se D è più grande di $ p^6 $, boh, non ci sono molte possibilità per p. Altrimenti determinare la radice quadrata di D è equivalente a determinarla modulo $ p^3 $.

Livello 2:

Testo nascosto:

Sappiamo trovare la radice di D modulo p? E' una quantità congrua a $ \pm 3 \pmod p $, da cui si deduce cosa può essere modulo $ p^2 $ e poi modulo $ p^3 $ (in stile lemma di Hensel).

Livello 3:

Testo nascosto:

Facendo attenzione alla grandezza delle cose in gioco, questo fornisce un'equazione del tipo $ 9-24 p+16 p^3 = (\mbox{polinomio in }p)^2 $ e si finisce