Sia dato un poligono (anche non convesso, ma non intrecciato) con $n>4$ vertici. Quanti angoli retti può avere al massimo?
(ovviamento non contano quelli da 270°)
Un sacco di angoli retti!
Re: Un sacco di angoli retti!
Distinguo due casi, poligono convesso e non.
Primo caso:
In questo caso il numero massimo di angoli retti è 3. Infatti, la somma degli angoli supplementari agli angoli interni di un poligono è 360 gradi e una volta che si hanno 3 angoli retti la somma dei restanti angoli supplementari è 90 e, dato che n>4, non possono esserci altri angoli retti.
Secondo caso:
Distinguiamo i due casi a seconda se n è pari o dispari.
Se n è pari si hanno al più n angoli retti (non so un esmpio può essere un percorso in cui si può ruotare ad ogni vertice di 90 gradi in senso orario e antiorario, il fatto che n è pari ci assicura che possiamo tornare all'origine).
Se n è dispari si hanno al più n-1 angoli retti. Basta prendere il poligono di n-1 lati con angoli tutti retti e agguingere un punto su un lato.
Primo caso:
In questo caso il numero massimo di angoli retti è 3. Infatti, la somma degli angoli supplementari agli angoli interni di un poligono è 360 gradi e una volta che si hanno 3 angoli retti la somma dei restanti angoli supplementari è 90 e, dato che n>4, non possono esserci altri angoli retti.
Secondo caso:
Distinguiamo i due casi a seconda se n è pari o dispari.
Se n è pari si hanno al più n angoli retti (non so un esmpio può essere un percorso in cui si può ruotare ad ogni vertice di 90 gradi in senso orario e antiorario, il fatto che n è pari ci assicura che possiamo tornare all'origine).
Se n è dispari si hanno al più n-1 angoli retti. Basta prendere il poligono di n-1 lati con angoli tutti retti e agguingere un punto su un lato.
Re: Un sacco di angoli retti!
uhm, ci fai un esempio preciso, per $n$ pari maggiore di $4$, di un poligono con $n$ angoli retti (e non di $270^\circ$, ovviamente)? perché quella cosa del percorso non l'ho capita...
Re: Un sacco di angoli retti!
Hai ragione ho considerato l'angolo di 270 gradi 
devo rifare il caso in cui non
è convesso.
devo rifare il caso in cui non è convesso.
Re: Un sacco di angoli retti!
Non so fino a che punto è giusto...
Sia k il numero di angoli retti nel poligono. Si ha che $90k+360(n-k)\geq 180(n-2)$ (ho fatto la somma degli angoli interni), il che ci dà $k\leq \frac{2n+4}{3}$.
Per n pari ho trovato $\frac{n+4}{2}$ (ho preso come configurazione un poligono a forma di "scala" con angoli di 90 e 270 e mi sembra che non possa essere migliorata come configurazione).
Ora per n dispari non saprei , ho trovato per n=11 una configurazione con 8 angoli retti, ovvero il massimo che può avere, ma per altri casi no quindi non saprei
Qualche suggerimento?
Sia k il numero di angoli retti nel poligono. Si ha che $90k+360(n-k)\geq 180(n-2)$ (ho fatto la somma degli angoli interni), il che ci dà $k\leq \frac{2n+4}{3}$.
Per n pari ho trovato $\frac{n+4}{2}$ (ho preso come configurazione un poligono a forma di "scala" con angoli di 90 e 270 e mi sembra che non possa essere migliorata come configurazione).
Ora per n dispari non saprei , ho trovato per n=11 una configurazione con 8 angoli retti, ovvero il massimo che può avere, ma per altri casi no quindi non saprei
Qualche suggerimento?
Re: Un sacco di angoli retti!
Beh, visto che hai trovato un upper bound per $k$ ora devi verificare che sia ottimale!
Quindi, per risolvere un problema (e questo è un metodo standard, che si è visto anche nel problema B2 del TST di quest'anno e anche in altri problemi da short-list) conviene controllare tutti i casi piccoli finché:
Per esempio, dato che compare un denominatore 3, forse ha senso distinguere la congruenza di $n$ modulo 3... e non modulo 2...
Quindi, per risolvere un problema (e questo è un metodo standard, che si è visto anche nel problema B2 del TST di quest'anno e anche in altri problemi da short-list) conviene controllare tutti i casi piccoli finché:
- l'upper-bound non viene smentito o
- capisci la costruzione per tanti (o tutti) gli $n$.
Per esempio, dato che compare un denominatore 3, forse ha senso distinguere la congruenza di $n$ modulo 3... e non modulo 2...
Testo nascosto: