60. Una retta che incontra tutto

[mat94]

Sia ABC un triangolo. La tangente alla circonferenza circoscritta di ABC in A incontra BC in D. Sia $l$ una retta che incontra AD internamente in P, la circonferenza circoscritta di ABC in Q e T, i lati AB e AC internamente in R e S rispettivamente e BC in U. Supponiamo che PQRSTU si trovano in quest'ordine su $l$. Dimostrare che se QR=ST allora PQ=UT.

[Adalein]

Sei sicuro del testo?

[mat94]

Perché che c'è che non va?

[Adalein]

non mi torna '' la tangente in A alla circonferenza circoscritta ad ABC incontra BC''... Comunque ora ricontrollo meglio tutto perchè probabilmente mi son persa qualcosa

[mat94]

Per BC si intende anche il suo prolungamento

[Francesco Sala]

Sia $ O $ il centro di $ \odot(ABC) $ e $ M $ il punto medio di $ QT $. Chiamiamo $ E $ il punto di Miquel del quadrilatero completo $ ABCRSU $. Se $ QR=ST $ allora $ M $ è anche il punto medio di $ RS $ e quindi $ OM $ è asse di $ RS $. Visto che $ E\in\odot(ABC) $ anche l'asse di $ AE $ passa per $ O $: se questi due assi non coincidessero, $ O $ sarebbe il centro di $ \odot(ARS) $, assurdo. Dunque $ ARSE $ è un trapezio isoscele, da cui $ \measuredangle ESU=\measuredangle ARP $; inoltre $ \measuredangle UES=\pi-\measuredangle SCU=\measuredangle ACB=\measuredangle RAP $; da questi ultimi si ricava che anche $ \measuredangle SUE=\measuredangle RPA $. Dunque il trapezio $ AEUP $ è isoscele e l'asse comune delle due basi è $ OM $, da cui $ UT=MU-MT=MP-MQ=PQ $, come voluto.

[mat94]

Il punto di Miquel E è la seconda intersezione delle circonferenze circoscritte a ARS e a CUS, e perché sta sulla circonferenza circoscritta ad ABC? Comunque bella soluzione

[Francesco Sala]

Per la questione del punto di Miquel vedere qui ("Teorema di Miquel del quadrilatero completo"): viewtopic.php?f=14&t=16860. La dimostrazione è per angoli.

[mat94]

Perfetto. Non ricordavo tutte le rette tre a tre ma solo le circonferenze circoscritte ai due "trangoli" un'altra soluzione poteva essere di dimostrare che la tangente in A e la retta simmetrica a BC rispetto all'asse di RS si incontrano su $l$ (basta applicare Pascal), questo punto di intersezione è P e dunque P e Q sono simmetrici rispetto all'asse di RS e cosi si conclude.
Vai pure