Intersezioni e superfici

[GouldG]

Trovare l'area della figura formata dai punti F,G,H,I con AB=1.

P. S. Non ho spiegato la costruzione della figura perchè mi sembra chiara ma se avete dubbi chiedete pure.
Il problema non è tratto da una gara ma l' ho inventato io spero pertanto che sia risolvibile con teoremi olimpionici.
Mi scuso inoltre di non so che cosa perchè sicuramente avrò fatto qualche errore nel pubblicare l' argomento (prima volta).

http://img600.imageshack.us/img600/5360/3fl5.png

[enrico_s]

Procedo per via analitica.

Innanzitutto noto che $ A_{FGHI}=\frac {FH\cdot GI}{2} $ , dato che $ FH\bot GI $ .
Pongo il quadrato di lato $ l $ centrato rispetto all'origine degli assi.
I vertici del quadrato hanno coordinate $ A(-a,-a) , B(a,-a), C(a, a), D(-a, a) $ , con $ a=\frac {l}{2} $ .
La circonferenza inscritta nel quadrato ha equazione $ C: x^2+y^2=a^2 $ .
La circonferenza centrata in $ B $ e passante per $ A $ e per $ C $ ha equazione $ S_{AC}:x^2+y^2-2ax+2ay-2a^2=0 $ .
La circonferenza in $ A $ passante per $ B $ e per $ D $ ha equazione $ S_{BD}: x^2+y^2+2ax+2ay-2a^2=0 $ .

Noto che $ y_G=y_i $ , quindi per trovare la lunghezza di GI mi basta conoscere i valori di $ x_G, x_I $

Intersecando $ C $ con $ S_{AC} $ ottengo $ x_G = -\frac {\sqrt{7}+1}{4}a $, mentre dall' intersezione di $ C $ con $ S_{BD} $ trovo $ x_I = \frac {\sqrt{7}+1}{4}a $.
Quindi $ GI = x_I-x_G=\frac {\sqrt{7}+1}{4}a+\frac {\sqrt{7}+1}{4}a=\frac {\sqrt{7}+1}{2}a $.

Ora devo trovare la lunghezza del segmento FH.
Il triangolo $ ABF $ è equilatero e ha lato $ 2a $ , quindi $ FH=a\sqrt{3} $

L' area cercata è $ A_{FGHI}=\frac {FH\cdot GI}{2}=\frac {(a\sqrt{3})(\frac {\sqrt{7}+1}{2}a)}{2}=\frac {\sqrt{21}+\sqrt{3}}{4}a^2=\frac {\sqrt{21}+\sqrt{3}}{16}l^2 $

Visto che dalle ipotesi sapevo che $ l=1 $ , l'area è $ \frac {\sqrt{21}+\sqrt{3}}{16} $ .

[GouldG]

ok mi sono spiegato male, intendevo la figura costituita da archi di circonferenze, non il quadrilatero.