33. Giocando all'infinito

[scambret]

Alberto e Barbara si sfidano ora in questo gioco. Un quadrato di lato 1 è disegnato in una griglia infinita.
Ogni mossa consiste nel disegnare un quadrato che non si sovrappone con la figura precedentemente disegnata in modo tale che uno dei suoi lati è un lato completo del rettangolo già disegnato. Un giocatore vince se completa un rettangolo con l'area multipla di 5. Se Alberto gioca per primo, esiste una strategia vincente? Chi dei due può vincere?

[Triarii]

Probabilmente non ho capito il testo, quindi metto la soluzione in spoiler

Testo nascosto:

Dimostriamo che non esiste una strategia vincente per nessuno dei 2 giocatori, e che la partita non si concluderà mai se entrambi giocano intelligentemente.
Designamo il rettangolo con i lati a e b con (a,b)
Notiamo intanto che per vincere è condizione necessaria e sufficiente che un lato sia multiplo di 5. Inoltre visto che a ogni mossa di fatto otteniamo un lato sommando gli altri 2, la caratteristica che mi interessa davvero è la classe di resto dei lati. Quindi ad esempio il quadrato (7,6) si comporta esattamente come quello (2,1) ai fini del problema
La prima mossa di Alberto sarà quella di ottenere (1,2)
Se B gioca (2,3) A vince con (5,3).
B è quindi costretta a giocare (1,3), A è costretto a giocare (4,3) (se giocasse (1,4) B vince con (1,5))
B può ora giocare (7,3)=(2,3), che la porterebbe a perdere il turno successivo, oppure (4,7)=(4,2). Se ora A gioca (4,6)=(4,1), B vince con (5,1). Quindi A è costretto a giocare (6,2)=(1,2) che è tale e quale la sua prima mossa. Quindi abbiamo ottenuto un ciclo che entrambi i giocatori devono compiere pe non perdere.

[scambret]

Yes

[Triarii]

Ok, quindi posso continuare?

[scambret]

Yes

[Triarii]

Great