Quesito INdAM 2013/2014

[Elijah94]

Un tavolo da biliardo ABC ha la forma di un triangolo equilatero di lato l. Sia D il punto del lato AB tale che BD=l/3. Una palla parte da A, rimbalza sul lato BC in E e poi finisce in D. Quanto vale BE?

[snake]

Il fatto che la pallina rimbalzi in E e vada in D significa che gli angoli BED e CEA sono congruenti. L'angolo in C e quello in B sono congruenti e uguali a $ \frac{\pi}{3} $ per ipotesi (ABC equilatero), quindi anche gli angoli CAE e EDB sono congruenti.
Quindi, i triangoli ACE e DBE sono simili e si ha che
$ \frac{\overline{AC}}{\overline{DB}}=\frac{\overline{CE}}{\overline{BE}} $

Detto $ \overline{BE}=x $, sarà $ \overline{CE}=l-x $.
$ \overline{AC}=l $ per ipotesi e $ \overline{BD}=\frac{l}{3} $ per ipotesi.
Quindi
$ \frac{l}{\frac{l}{3}}=\frac{l-x}{x} $
Da cui $ 3x=l-x $ e
$ x=\frac{l}{4} $

[Elijah94]

Si, allora l'ho fatto bene Grazie