80. funzion..Ale!

[arack]

Trovare tutte le $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ tali che $ f(x+y) = a^{xy} f(x) f(y) $ per ogni $ x, y $ in $ \mathbb{R} $, $ a > 0 $.

Mi hanno detto che ce ne sono molte

[Tess]

Mi hanno detto che ce ne sono molte

Essì, ce ne stanno davvero parecchie!

P.s. sei sicuro che si possano scrivere?

[arack]

P.s. sei sicuro che si possano scrivere?

Si, con una semplice espressione

Hint(altamente spoileroso):

Testo nascosto:

Basta fare un'accorta sostituzione e si ottiene una Cauchy, altrimenti bisogna fare un po' più lavoro.

[scambret]

Sei sicuro $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$??

Se poniamo $g(x)=\displaystyle \frac{f(x)}{a^{\frac{(x-1)x}{2}}}$, magicamente diventa $g(x+y)=g(x)g(y)$. Ora Cauchy, ma su $\mathbb{Q}$, da $g(x)=c^x$ per ogni $c$ reale. Ora non so il comportamento di $f$ su $\mathbb{R}$, cioè penso che devo dimostrare una delle tre ipotesi, ma non ho idea come si possa fare..

[arack]

$ \mathbb{R} $ for rational!

Si avete perfettamente ragione, è sui razionali e non reali. Comunque per eliminare la $ a $ si può porre $ f(x) = a^{h(x)} g(x) $, quindi si ha che $ h(x+y) = xy + h(x) + h(y) $ una cui soluzione è $ \frac{x^2}{2} $ (ad occhio direi anche $ \frac{x^2}{2} + bx $), perciò $ f(x) = a^{\frac{x^2}{2}} g(x) $ dove $ g(x) $ è una soluzione della cauchy.

[scambret]

Diciamo che $f(x)=a^{\frac{x^2-x}{2}} \cdot k^x$, poi ovviamente uno può porre $k=\sqrt{a} \cdot c$ e ottiene $f(x)=a^{\frac{x^2}{2}} \cdot c^x$ e di queste sostituzioni furbe uno ne può fare quante ne vuole..

Forse sarebbe meglio spiegare da dove arriva la sostituzione $f(x)=g(x) \cdot a ^{\textrm{esponente a caso}}$

Infatti se pongo $f(1)=b$ e faccio sostituzioni a manina ottengo

$x=y=1 \rightarrow f(2)=ab^2$

$x=2, y=1 \rightarrow f(3)=a^3b^3$

$x=3, y=1 \rightarrow f(4)=a^6b^4$

$x=4, y=1 \rightarrow f(5)=a^{10}b^5$

Vedendo gli esponenti di $f(1)$, beh è scontato imporre $f(x)=a^{boh} \cdot f(1)^x$

Poi però uno si accorge che gli esponenti di $a$ sono 1, 3, 6, 10 cioè i numeri triangolari e quindi ottiene l'espressione magica.

In realtà i primi due tentativi che ho fatto sono stati
1) $g(x)=f(x)- a^{\frac{x^2-x}{2}} \cdot f(1)^x$, ma poi è stato arduo dimostrare che $g(x) \equiv 0$ per ogni $x$
2) $g(x)=\frac{f(x)}{c^x}$ e ho visto che $g$ è uguale a $f$....

[scambret]

Continua qualcuno?? Cioè non so chi tra io e tess l'ha fatto

[scambret]

Arack, giudice supremo, chi dovrà continuare la staffetta??

[jordan]

Continua te, scambret

[arack]

Arack, giudice supremo, chi dovrà continuare la staffetta??

Continua pure tu, io tempo che finisco i compiti delle vacanze e riprendo