Dalla gara di febbraio 2013:
"Determinare tutte le terne di interi strettamente positivi (a; b; c) tali che
- a<=b<=c ;
- MCD(a; b; c) = 1 ;
- a è divisore di b + c, b è divisore di c + a e c è divisore di a + b ."
Io non sono riuscita a dimostrare perché le terne trovate (andando a tentativi ) erano le uniche.. qualcuno mi può aiutare per favore?
Ho guardato anche la soluzione "ufficiale", ma non ho capito molto..
Grazie mille in anticipo
Beh, dunque, intanto serve richiamare una proprietà fondamentale: se $m$ divide sia $x$ che $y$, allora divide $x+y$ e $x-y$.
Ora, tu sai che $a$ divide $b+c$, ma allora (visto che $a$ divide anche $a$) $a$ divide anche $a+b+c$. Allo stesso modo, anche $b$ e $c$ dividono $a+b+c$.
Adesso, da questo tu puoi concludere che $\mathrm{mcm}(a,b,c)$ divide $a+b+c$; il minimo comune multiplo di $a,b,c$ non è detto che sia il loro prodotto, perché noi sappiamo solo che non c'è un fattore comune a tutti e tre, ma potrebbero avere fattori comuni a due a due. Ad esempio, se $a=2$, $b=6$ e $c=9$, non c'è un fattore comune a tutti e tre, ma il minimo comune multiplo è $18$ e non $2\cdot 6\cdot 9=108$. In effetti, si ha $\mathrm{mcm}(a,b,c)=\dfrac{abc}{\mathrm{MCD}(a,b)\cdot \mathrm{MCD}(b,c)\cdot\mathrm{MCD}(c,a)}$, se $\mathrm{MCD}(a,b,c)=1$.
Quindi vogliamo capire qualcosa su quali sono i divisori comuni di $a,b,c$ a due a due.
Prendiamo un numero $d$ che sia divisore sia di $a$ che di $b$, allora avremo che $d$ divide $a$, ma $a$ divide $b+c$, quindi $d$ divide $b+c$. Inoltre $d$ divide pure $b$, dunque $d$ divide $b+c-b=c$, ma allora $d$ divide tutti e tre i numeri. Questo però vuol dire che $d=1$. Lo stesso capita se prendiamo un numero che divida $b$ e $c$ oppure $a$ e $c$. Quindi i numeri $a, b, c$ non hanno fattori comuni nemmeno a due a due.
Allora da quello che abbiamo detto prima abbiamo che $\mathrm{mcm}(a,b,c)=abc$ e dunque $abc$ divide $a+b+c$. Adesso usiamo il fatto (che finora avevamo ignorato!) che $a\leq b\leq c$ per dire che $a+b+c\leq 3c$. Quindi $abc$ divide un numero minore o uguale a $3c$, da cui $abc\leq 3c$ ovvero $ab\leq 3$. Si può avere $ab=1$, $ab=2$, $ab=3$.
Nel primo caso abbiamo $a=1, b=1$ e dunque $c$ deve dividere $a+b=2$, da cui $c=1$ (terna $(1,1,1)$ ) oppure $c=2$ (terna $(1,1,2)$). Si verifica che entrambe vanno bene.
Nel secondo caso abbiamo $a=1$, $b=2$ (perché deve essere $a\leq b$) e quindi $c$ deve dividere $a+b=3$, da cui $c=3$ (terna $(1,2,3)$). Si verifica che va bene.
Nel terzo caso abbiamo $a=1$, $b=3$ (perché deve essere $a\leq b$) e quindi $c$ deve dividere $a+b=4$, da cui (visto che $c\geq b=3$) $c=4$, ma in questo caso $b=3$ non divide $a+c=5$. Quindi quest'ultima soluzione non è accettabile. Le terne sono dunque $(1,1,1)$, $(1,1,2)$, $(1,2,3)$.
In generale, di solito, in questi problemi si procede così:
1. si cerca di trovare qualche condizione di divisibilità in più rispetto alle ipotesi (in questo caso ad esempio erano coprimi a due a due e non solo tutti e tre)
2. si cerca di scrivere qualche disuguaglianza (ad esempio sfruttando il fatto che i numeri devono essere in un certo ordine, o che magari da qualche ipotesi salta fuori che uno non può essere troppo grande o troppo piccolo)
3. ci si riduce a controllare, mettendo insieme 1 e 2, un numero finito di casi e per ognuno si verifica se funziona o no.
La risposta di sopra dovrebbe esserti piu' che sufficiente; aggiungo una soluzione alternativa, che a quanto pare è a prima vista un po' diversa dalle due ufficiali..
Definiamo i razionali $x:=\frac{a+b+c}{a}$, $y:=\frac{a+b+c}{b}$, $z:=\frac{a+b+c}{c}$, che sono interi per ipotesi. Allora la seguente equazione è valida:
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1. \]
Almeno due tra le variabili $x,y,z$ sono uguali se e solo se almeno due tra le variabili $a,b,c$ sono uguali. Se $y=z$ allora abbiamo
\[ \frac{1}{x}+\frac{2}{y}=1 \text{ se e solo se } x=1+\frac{2}{y-2}. \]
$x$ deve essere intero quindi anche $\frac{2}{y-2}$ lo è, quindi $y$ puo' essere soltanto $3$ o $4$ da cui le soluzioni nella forma $(x,y,z)$:
\[ (3,3,3), (2,4,4). \]
Altrimenti, le variabili sono tutte diverse. Per ipotesi era $a\le b\le c$, e visto che sono tutte diverse dobbiamo avere $z<y<x$. Ora:
\[ 1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}<\frac{3}{z} \implies z<3.\]
Ora chiaramente $z$ non puo' essere $1$. Resta l'unica possibilità $z=2$. L'equazione diventa
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2} \text{ se e solo se }x=2+\frac{4}{y-2}. \]
Uguale a prima, insieme alla condizione $y<x$, porta all'ultima soluzione $(2,3,6)$. Avendo $(x,y,z)$ puoi determinare univocamente $(a,b,c)$ (considerato che per ipotesi $\text{MCD}(a,b,c)=1$). Ed è fatta..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
In generale scrivere solo "ho provato a guardare la soluzione ufficiale, ma non ci ho capito molto" non ti procurerà risposte particolarmente utili: chi ha scritto la soluzione ufficiale già pensava che quello fosse il modo più chiaro di presentarla, e qualunque risposta (che sia un'altra soluzione simile ma diversa, o un tentativo di rispiegare la soluzione ufficiale) sarà scritta in modo analogo; questo sempre perché crediamo che quello sia il modo migliore di scriverle, e se qualcuno non ci dice cosa non capisce le riscriveremo nello stesso modo. È molto più utile se ci scrivi qualcosa di questo tipo:
ho provato a leggere la soluzione ufficiale; mi è tutto chiaro fino alla riga X, poi c'è la frase "xx xxx xxx xxxxx" che è il primo punto che non capisco: perché è vero che "xx xxxx"? Da cosa segue?
In questo modo possiamo capire davvero qual è il punto su cui ti sei bloccata e cercare di tirarti fuori dal problema. Per cercare un parallelo: è come se tu andassi da un meccanico e dicessi solo "nella mia macchina c'è qualcosa che non va". Il meccanico ti odierà per questo; devi cominciare tu spiegando *cosa* non funziona (non si accende, c'è una gomma a terra, gli alzacristalli sono rotti) perché possa aiutarti.
Un altro punto positivo di questo approccio è che ti incoraggia a fare quello che si chiama rubber duck debugging: se uno cerca di spiegare chiaramente qual è il problema che ha, eliminando i pezzi superflui, come se lo stesse raccontando a un bambino di 5 anni, allora in molti casi nel fare questa operazione si chiarisce da solo le cose il problema si risolve da sé.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Scusate, credevo proprio di avervi risposto ma a quanto pare non l'avevo fatto
Nella soluzione ufficiale non avevo capito nè perchè i tre numeri erano coprimi a due a due, nè la disuguaglianza finale, ma ho capito per bene dalla spiegazione più dettagliata di EvaristeG grazie mille anche per i consigli generali!
E dopo un po' ho capito anche la soluzione alternativa
Grazie mille a tutti, la prossima volta scriverò più dettagliatamente cosa non ho capito
“SE ASCOLTO DIMENTICO, SE GUARDO IMPARO, SE FACCIO CAPISCO”