Forse è un po' contoso, ma l'ho trovato utile per smanettare un pochino con polinomi/radici/coefficienti/somme simmetriche...
Siano $f(x),\ g(x)$ due polinomi monici di grado 2 a coefficienti reali tali che:
$f(x)=0$ ha come soluzioni due reali distinti $a_1,a_2$
$g(x)=0$ ha come soluzioni due reali distinti $b_1,b_2$
$\{f(b_1),f(b_2)\}=\{b_1,b_2\}$
$\{g(a_1),g(a_2)\}=\{a_1,a_2\}$
$f(1)g(1)=k$ con $k$ reale fissato
Determinare quanto vale $h(x)=f(x)g(x)$ in funzione di $k$
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Cosa intendi con $ \{f(b_1),f(b_2)\}=\{b_1,b_2\} $?
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Intendo che $f(b_1)=b_1,f(b_2)=b_2$ oppure $f(b_1)=b_2,f(b_2)=b_1$
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Scusa drago96 ma con le condizioni $\{f(b_1),f(b_2)\}=\{b_1,b_2\}$ e $\{g(a_1),g(a_2)\}=\{a_1,a_2\}$ non troviamo direttamente le 2 radici di f e le due radici di g e quindi k assume al piu 4 valori?
Non ho capito cosa intendi, però tu non devi trovare $k$: quello te lo dà il problema ed è fissato. Tu invece devi trovare un modo esplicito di scrivere $h(x)$ in funzione del $k$ fissato: per esempio potresti dire $h(x)=x^4+2kx-1$... (ovviamente questo è il primo polinomio che mi è venuto in mente, e non è quello giusto )
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Sì, grossomodo direi di sì...
Però dovresti anche far vedere cosa vuoi fare, e se possibile anche farlo!
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Se proprio non puoi fare diversamente...
Almeno il "risultato" riesci a scriverlo in $\LaTeX$?
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)
