interi per sempre

[scambret]

Ecco a voi un nuovo problema

Dimostrare che esistono infinite coppie di interi positivi $(m,n)$ tali che

$$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m} \in \mathbb{N}$$

[Triarii]

Prendiamo $ m,n $ coprimi fra loro.
Riscriviamo come $ m(m+1)+n(n+1)\equiv 0 (\bmod mn) $
Quindi vale per TCR $ m(m+1)\equiv 0 (\bmod n) $ e $ n(n+1) \equiv 0 (\bmod m) $
Basta quindi prendere $ m\equiv -1 (\bmod n) $ e $ n\equiv -1 (\bmod m) $ (che rispetta le ipotesi di coprimalità) per ottenere una classe di soluzioni che soddisfi l'enunciato, e conseguentemente infiniti $ (m,n) $.

[Troleito br00tal]

Sinceramente non mi sembrano moltissimi i numeri $(m;n)$ tali che $m|n+1$ e $n|m+1$...

[<enigma>]

Prendiamo $ m,n $ coprimi fra loro.
Riscriviamo come $ m(m+1)+n(n+1)\equiv 0 (\bmod mn) $
Quindi vale per TCR $ m(m+1)\equiv 0 (\bmod n) $ e $ n(n+1) \equiv 0 (\bmod m) $
Basta quindi prendere $ m\equiv -1 (\bmod n) $ e $ n\equiv -1 (\bmod m) $ (che rispetta le ipotesi di coprimalità) per ottenere una classe di soluzioni che soddisfi l'enunciato, e conseguentemente infiniti $ (m,n) $.

Sinceramente non mi sembrano moltissimi i numeri $(m;n)$ tali che $m|n+1$ e $n|m+1$...

Difatti il testo non chiede quello

[Triarii]

Dove è la cavolata?

[<enigma>]

Che come ti ha fatto notare Troleito br00tal (subito pensavo si riferisse al testo del problema invece che alla tua frase) con il tuo "Basta quindi prendere" non prendi manco un pugno di mosche!

[Triarii]

Giusto... che idiota che sono :/

[EvaristeG]

Il primo passo è riconoscerlo

[Troleito br00tal]

Sbagli, il primo passo è ESSERLO

[Chuck Schuldiner]

Dipende, se si intende un viaggio verso la purezza interiore allora esserlo non aggiunge nulla perchè è una condizione intrinseca, ergo il primo passo è riconoscerlo.

[Chuck Schuldiner]

Comunque quanta cattiveria, si è solo sbagliato...non è mica murofilo che lo maltrattate così

[Triarii]

Metto in spoiler le magre considerazioni a cui sono giunto.

Testo nascosto:

Posso prendere $m,n$ tali che $m=ad$ e $n=bd$ con $a,b,d$ fra loro coprimi. Riscrivo l'equazione, che analizzata modulo $mn=d^2ab$ diventa
$ad(ad+1)+bd(bd+2)\equiv 0 (d^2ab)$
Per TCR posso dividerla in un sistema di 3 congruenze
$ad(ad+1) \equiv 0 (b)\Rightarrow ad\equiv -1 (b)$
$bd(bd+1)\equiv 0 (a)\Rightarrow bd\equiv -1 (b)$
$ad(ad+1)+bd(bd+1)\equiv 0 (d^2)\Rightarrow a+b\equiv 0 (d)$
Poichè $a,b$ sono coprimi, posso riscrivere le prime 2 relazioni come
$d\equiv a^{-1} (b)$
$d\equiv b^{-1} (a)$
Sempre per TCR abbiamo quindi che esiste sempre una classe $d$ che soddisfa queste 2. Non è detto che però soddisfi la terza relazione del sistema...

[jordan]

Testo nascosto:

viewtopic.php?f=15&t=17392