problema con una disequazione

[kitsune]

Un esercizio che abbiamo fatto oggi in classe diceva di verificare che $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x-1}{x}=2$, tramite la definizione (quindi quella menata più finita con gli intorni di 2 che per qualche motivo piace tanto alla mia profe anche in questi casi palesi), quindi, dopo qualche passaggio diventa diventa:
$\displaystyle|-\frac{1}{x}|<\epsilon$

La mia profe procede quindi alla risoluzione facendo:
$\displaystyle\frac{1}{|x|}<\epsilon$

Rimuove il modulo al denominatore perchè stiamo studiando $x\to\infty$ quindi è sicuramente positiva ed arriva a $\displaystyle x>\frac{1}{\epsilon}$

Io, non essendomi accorto che il modulo si poteva eliminare così comodamente la risolvo come tutte le disequazioni del genere e ottengo:
$\displaystyle -\epsilon<-\frac{1}{x}<\epsilon$
$\displaystyle -\frac{1}{\epsilon}>-x>\frac{1}{\epsilon}$
Dividendo il tutto in 2 disequazioni mi viene un sistema fra $\displaystyle x<-\frac{1}{\epsilon}$ e $\displaystyle x>\frac{1}{\epsilon}$, che è chiaramente impossibile.

Tuttavia la mia profe non ha trovato nessun errore nella mia soluzione , e a me non pare di aver fatto errori di calcolo quindi direi che ho fatto un errore logico in un qualche passaggio, qualcuno sa dirmi cosa sto sbagliando?

[ndp15]

Non ti viene un sistema ma devi prendere l'unione dei due intervalli di soluzione. In ogni caso non è questo il forum dove parlarne

[darkcrystal]

Probabilmente questo non è il forum giusto dove parlarne, ma il problema centrale mi sembra un altro: da $-2 < 2$ non segue $-1/2 > 1/2$! Quando prendi gli inversi di entrambi i membri di una disuguaglianza ed i due membri hanno segno opposto, il verso della disuguaglianza non si gira. Questo accade perché $x \mapsto 1/x$ cambia l'ordine dei positivi tra loro e l'ordine dei negativi tra loro, ma non scambia $\mathbb{R}^+$ e $\mathbb{R}^-$.

[kitsune]

Boh, la descrizione del forum diceva "disuguaglianze" allora la ho messa qua, in effetti mi sa che il problema sta in quella inversione, non so come abbia fatto a non vederlo :S