Circonferenza centro irrazionale

[snake]

Questo quesito è stato proposto alla selezione triennale dell'Indam di quest'anno. Spero di non aver cannato completamente la sezione

Sia dato un sistema di riferimento cartesiano e un punto $C(x_C;y_C)$ a coordinate irrazionali. Quanti punti a coordinate razionali può avere, al massimo, una circonferenza avente centro in C?

Mi ricorda tante cose già viste e riviste, ma... la dimostrazione mi viene di due pagine
Sono sicuro che sto prendendo una cantonata epica e che è molto più semplice di come l'ho impostato io (anche perché era in mezzo ad altri quesiti che si risolvevano in 2 passaggi). Potreste darmi qualche dritta?

[maurizio43]

QUESTO POST E' DA NON LEGGERE! ( CONTIENE STUPIDAGGINI )
LO LASCIO NON CANCELLATO A PERENNE MIO DISDORO
Le coordinate di un punto $ P $ della circonferenza di centro $ C=(X_c , Y_c) $ e raggio $ R $ hanno espressione $ X_p = X_c+R\cos{\beta} $ e $ Y_p=Y_c+R \sin{\beta} $
dove $ \beta $ è l'angolo tra l'asse $ x $ e il segmento $ CP $
Perchè il punto $ P $ abbia coordinate razionali occorre che sia :
(1) $ X_c+R\cos{\beta} = \frac {m}{n} $
(2) $ Y_c+R \sin{\beta} = \frac {p}{q} $
dove $ m, n, p, q $ sono numeri interi, con la condizione : $ -R \leq \frac{m}{n}-X_c \leq R $ , e $ -R \leq \frac{p}{q}-Y_c \leq R $ ( con ovviamente i denominatori non nulli)
Allora si può ricavare :
(3) $ \tan {\beta} = \frac {\frac{p}{q}- Y_c}{\frac{m}{n}- X_c} $
Considerando per comodità il caso particolare : $ X_c=Y_c $ è più banale vedere che per ogni angolo $ \beta $ per cui vale la (3) le coordinate di $ P $ sono razionali.
E quindi dovremmo concludere che :
Poichè i numeri razionali ( che siano $ \frac{m}{n} $ , o che siano $ \frac{p}{q} $ ) compresi tra $ X_c $ e $ R $ sono infiniti, anche di angoli $ \beta $ che soddisfino la (3) ce ne sono infiniti.
Dunque la risposta al quesito è : < infiniti >

[darkcrystal]

Non credo possano essercene così tanti! Prendiamo tre punti sulla circonferenza. Siamo in grado di trovare le coordinate del centro, date le coordinate di questi tre punti? Che operazioni dobbiamo fare? Cosa se ne deduce, se i 3 punti di partenza hanno tutti coordinate razionali?

EDIT: Maurizio, potresti mostrare come - dall'equazione per $\tan(\beta)$ - si ricava che le coordinate del punto corrispondente sono razionali? Credo che il problema possa annidarsi lì...

[snake]

Non credo possano essercene così tanti! Prendiamo tre punti sulla circonferenza. Siamo in grado di trovare le coordinate del centro, date le coordinate di questi tre punti? Che operazioni dobbiamo fare? Cosa se ne deduce, se i 3 punti di partenza hanno tutti coordinate razionali?

Accidenti, sono un pollo!
L'unica consolazione è che il mio metodo permetteva di dire quando ci sono 2 punti a coordinate razionali (e calcolarli) e quando ce n'è di meno

[maurizio43]

Per Darkcrystal e per tutti gli altri che hanno perso tempo a leggere il mio post.

MEGACAPPELLA GALATTICA ! !

Nello scarabocchiare frettolosamente e con superficialità le manipolazioni della (1) e della (2)
ho diviso membro a membro la (2) per la (1) , facendo sparire $ R $ .
Quindi la formula finale (3), del tutto slegata da $ R $ , mi rappresenta la "fantastica scoperta" che
per un qualsiasi punto a coordinate razionali si può tracciare una circonferenza che abbia centro in $ (X_c , Y_c) $ ! ! !

( Non si capisce se in questo caso, nello scrivente, sia stata la stupidità a superare a superficialità e la scarsa serietà, o viceversa ! )

PARDON.