L'n-esima funzionale

[fph]

Sì; sono due modi diversi di parametrizzare lo stesso insieme di soluzioni. Scusate se ho deragliato il thread, ora torniamo alla funzionale.

[Lasker]

Provo a rispondere al problema originale, anche se userò strumenti che non so ancora padroneggiare con sicurezza, quindi preparatevi ad una valanga di errori !

$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\cos(y)$$
Sostituisco $x=x' \in \mathbb{R}$, $y=\frac{\pi}{2}$, ottenendo:
$$f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=0$$
Da cui ricaviamo che la $f$ è periodica di periodo $2\pi$.
Ora, ricordando che per il Teorema di Fourier ("supercannone" non olimpico fatto questa settimana in Fisica, stare attenti a scuola paga ) ogni funzione periodica può essere scritta come sommatoria di seni e coseni di periodo uguale a quello della funzione e i suoi sottomultipli più (eventualmente) una costante.
$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\sin(nx)+\sum_{n=0}^{\infty}b_n\cos(nx)$$
Ora sviluppo questa sommatoria nel $LHS$ dell'equazione di partenza:
$$LHS=\sum_{n=0}^{\infty}[a_n\sin(nx+ny)+b_n\cos(nx+ny)+a_n\sin(nx-ny)+b_n\cos(nx-ny)]$$
Visto che nell'espressione del $RHS$ per la variabile $y$ è presente solo $\cos(y)$, l'unico $n$ che può sopravvivere nel $LHS$ è $n=1$.
Pertanto la soluzione deve avere la forma:
$$f(x)=A\sin(x)+B\cos(x) \forall A,B,x\in\mathbb{R}$$
E si verifica applicando le formule di addizione/sottrazione che tutte queste soddisfano
$$A[2\sin(x)\cos(y)]+B[2\cos(x)\cos(y)]=2[A\sin(x)+B\cos(x)]\cos(y)\Leftrightarrow 0=0$$
E con ciò dovrei aver terminato!

[<enigma>]

Non sono una cima in Analisi, né voglio essere rude, ma dalle mie scarse conoscenze sospetto che la tua soluzione valga zero. Hai idea di cosa significhi che una funzione può essere scritta come eccetera eccetera e cosa significhi il segno di $=$ che scrivi? La versione abbreviata è che le somme parziali della serie di Fourier rappresentano una successione di funzioni che converge alla tua funzione (in qualche senso preciso, ad esempio secondo qualche norma)... ora, già solo il fatto che esistano funzioni di $L^1$ la cui serie di Fourier non converge alla funzione in nessun punto dovrebbe far venire grossi sospetti. Per ciascun tipo di convergenza che esamini (puntuale, uniforme, ...) hai bisogno di certe condizioni (ce ne sono davvero tante) che comunque restringono l'insieme in cui vai a cercare. Ti consiglio di leggere questa pagina. Sono però sicuro che gli "anziani" del forum non vedono l'ora di illuminarci col loro parere esperto
In definitiva credo però sia un errore scusabile visto che questa cosa l'hai imparata a Fisica

[Lasker]

Hai idea di cosa significhi che una funzione può essere scritta come eccetera eccetera e cosa significhi il segno di = che scrivi?

Evidentemente no , mi spiace di aver scritto fessererie, c'è da dire che però lo avevo anticipato .
Per caso l'errore fondamentale è assumere che la funzione sia continua?
Mi sa che questo è stato un tentativo di "evitare" i problemi nella dimostrazione, tutte le volte che vedo una funzione trigonometrica in una funzionale comincio a brancolare nel buio

[fph]

Non sono una cima in Analisi, né voglio essere rude, ma dalle mie scarse conoscenze sospetto che la tua soluzione valga zero.

Hint: espressioni come "la tua soluzione vale zero" fai meglio a evitarle se non vuoi sembrare sgarbato.

Detto questo, comunque sul lato matematico hai trovato il problema: senza qualche ipotesi di regolarità non è vero che tutte le funzioni periodiche si possono scrivere come sommatoria infinita di seni e coseni. In fisica e in ingegneria spesso le ipotesi di regolarità vengono nascoste sotto il tappeto (come si dice per prenderli in giro, è noto che in fisica tutte le funzioni sono analitiche ovunque e nulle all'infinito).

Quindi risolvere la funzionale così è un po' come risolverla con l'ipotesi aggiuntiva che la funzione è continua, o derivabile, o un polinomio: è vero che spesso ci becchi e trovi tutte le soluzioni, è utilissimo farlo all'inizio per capire cosa succede, ma non è una dimostrazione rigorosa.