Rispondo anche io al punto $1)$, visto che la mia "dimostrazione" (tutto fuorché formale e convincente, in verità) arriva alle stesse conclusioni di quella di Triarii...
Immaginiamo, invece che un cerchio, un poligono regolare di $n$ (per comodità prendo $n$ dispari, visto che avevo già fatto questo ragionamento per un altro problema con $n=2013$
![Laughing :lol:](./images/smilies/icon_lol.gif)
) lati inscritto in una circonferenza. Fissiamo un punto (che possiamo scegliere in $n$ modi) e tracciamo la retta passante per il centro della circonferenza, i due ulteriori punti dovranno essere scelti uno da una parte ed uno dall'altra.
Ora, osservo che per ogni punto a "distanza" $k$ dal punto fissato, ci saranno $k$ possibili scelte di punti sull'altra semicirconferenza in modo che il centro sia compreso nel triangolo. La formula per contare il numero di casi favorevoli sarà dunque:
$$\frac{n}{3}\sum_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} k=\frac{n^3-n}{24}$$
Ricordando di dividere per $3$ in quanto ogni configurazione è stata contata $3$ volte.
I casi possibili, invece, saranno dati da ogni possibile scelta di $3$ punti del poligono, ovvero:
$${n\choose 3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=\frac{n^3-3n^2+2n}{6}$$
Quindi la probabilità totale sarà:
$$\frac{n^3-n}{4n^3-12n^2+8n}=\frac{n+1}{4(n-2)}$$
Chiaramente, per $n$ tendente ad infinito il poligono tende ad essere un cerchio, e quindi ci si aspetterebbe che:
$$P=\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{4(n-2)}=\frac{1}{4}$$
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!