E che c'entra \(n^2\) ?

[Gottinger95]

Dimostrare che \(\varphi(n) \cdot \tau(n) < n^2\), dove \(\tau(n)\) è la somma dei divisori di \(n\), e che per ogni costante positiva \(k \in \mathbb{N}\) esistono infiniti \(n\) tali che \(n^2-k \le \tau(n) \phi(n)\).

N.B. Si usano solo fatti elementari, cioè niente approssimazioni orrende o cose simili

[jordan]

Non mi pare molto corretto, se con $f(x) \sim g(x)$ si intende $f(x)=g(x)(1+o(1))$ quando $x \to \infty$.

Il seguente risultato, piu' debole, è pero' vero (è la chiave per mostrare questo):

Esistono due costanti positive $\alpha,\beta$ tali che $\alpha n^2 \le \varphi(n) \sigma_1(n) \le \beta n^2$ per ogni intero positivo $n$.

[Gottinger95]

Ecco, l'ho editato. Anche se effettivamente come lo hai scritto tu è meglio!

[jordan]

In breve, potresti scrivere $\varphi(n) \sigma_1(n)= \Omega(n^2)$

[Triarii]

Dimostriamo prima che $\phi (n) \cdot \tau (n)<n^2$ per ogni naturale.
Lemma: $\phi (p^a)\cdot \tau (p^a)<p^2 \qquad p\in \mathbb P$
Svolgendo otteniamo
$$p^{a-1}(p-1)\cdot \frac {p^{a+1}-1} {p-1} =p^{a-1}\cdot (p^{a+1}-1)=p^{2a}-p^{a-1}<p^{2a}$$ che è la tesi.

Ricordandoci della moltiplicatività di $\phi$ e $\tau$ ,possiamo applicare il lemma ad ogni primo che è contenuto nella fattorizzazione di $n$, ottenendo la tesi: imfatti a destra otteniamo tutti i prodotti dei quadrati dei primi elevati al rispettivo esponente, mentre a sinistra abbiamo tante quantità ciascuna minore di ogni quadrato del rispettivo primo elevato al proprio esponente.

Dimostriamo ora che per ogni $k$ abbiamo infiniti $n$ tali che $n^2-k\le \phi (n)\tau (n)$
Notiamo che per $n$ primo $\phi (n)\tau (n)=n^2-1$
Sostituendolo nell'equazione iniziale otteniamo $k\ge 1$ , che è vera per ogni $k$ positiva. Inoltre esistono infiniti $n$ che soddisfano le ipotesi in quanto esistono infiniti primi

[Drago96]

@jordan: cosa intendi con $\Omega$? Perché se è quella che fa la somma degli esponenti, mi sa che non torna qualcosa...

[jordan]

Mmh hai ragione! Intendevo quel simbolo doppiamente ondulato, lo metto appena lo trovo..

Triarii, ora dimostra che esiste una costante positiva $\alpha$ tale che $\varphi(n)\sigma_1(n)\ge \alpha n^2$ per ogni $n$ intero positivo..

[Drago96]

Hinto la migliore costante, magari vi fa venire in mente qualcosa...

Testo nascosto:

$\displaystyle\frac{6}{\pi^2}$

Ma si fa tranquillamente anche con $1/2$...