$x^3+1=2y^3$

[Troleito br00tal]

Risolvere negli interi $x^3+1=2y^3$.

[Triarii]

Posto le scarne considerazioni a cui sono giunto

Testo nascosto:

Penso che la scrittura vincente sia $x^3-y^3=y^3-1$ . Ho provato a fare delle considerazioni dopo aver fattorizzato ambo i membri sui primi che dividevano ciascuno, mi sono pure impantanato con LTE. Forse c'è qualche modulo o bound che non ho considerato? Comunque credo le uniche soluzioni siano $(-1,0)$ e $(1,1)$

[Troleito br00tal]

Il problema è difficile: riconduciti a dei quadrati

[arack]

Provo a completarlo; le soluzioni sono quelle di Triarii, rimane da dimostrare solo che non ce ne sono altre.

Fatto: Siano \(x, y \in \mathbb{N^{+}}\), \(x^3 < 2y^3 < (x+1)^3\) implica \(x = y\)(dimostrabile per casi).

Consideriamo \(x > 1\), abbiamo che \(x^3 < x^3 + 1 < (x+1)^3\), in particolare \(x^3 < 2y^3 < (x+1)^3\) da cui \(x = y\), ma \(x^3 + 1 = 2 x^3\) implica \(x = 1\) contro ipotesi.

Supponiamo invece \(x < -1\), allora l'equazione può essere riscritta come \(x^3 - 1 = 2y^3\), con \(x > 1\). Anche qui \((x-1)^3 < x^3 - 1 < x^3\) da cui \((x-1)^3 < 2y^3 < x^3\) che porta ad un assurdo(ho evitato di scrivere il range di \(y\) ma è quello per cui vale il fatto ).

Come si fa a ricondurre quei cubi a dei quadrati?

[darkcrystal]

Hai provato $x=5, y=4$ nel tuo fatto?

[Troleito br00tal]

Prova a scriverlo come $2x^3+2=4y^3$... non ti ricorda un qualche quadrato?

[arack]

Hai provato $x=5, y=4$ nel tuo fatto?

Dumb me, ho pensato che con \(x = 2\), \(2*2*2\) non rientrava nel range quindi anche gli altri non dovevano rientrare, in buona sostanza ho verificato mentalmente \(2y^2 < x^3\) scambiandolo per \(2y^3 < x^3\)

Prova a scriverlo come $2x^3+2=4y^3$... non ti ricorda un qualche quadrato?

seriamente, non mi ricorda nulla
però confidando nel tuo hint ho provato a scrivere i cubi come quadrati della somma di un numero e del suo quadrato, in particolare paretendo da \((y^2 + 2y)^2 = y^4 + 4y^3 + 4y^2\) e \((x^2 + x)^2 = x^4 + 2x^3 + x^2\) facendo qualche passaggio sono giunto a:
\((y^2 + 2)^2 + (x^2 + x)^2 + x^2 = (y^2 + 2y)^2 + (y^2 + 1)^2 + 1^2\)

Cerco qualche rito voodoo sulle somme di tre quadrati continuando su questa strada o intendevi qualcosa di più semplice?

[Troleito br00tal]

Tu hai $2x^3$ e $4y^3$. Il loro prodotto è un cubo. Sarebbe molto bello che la loro differenza fosse due! Perché?

[arack]

Tu hai $2x^3$ e $4y^3$. Il loro prodotto è un cubo. Sarebbe molto bello che la loro differenza fosse due! Perché?

Intanto grazie per la risposta.

Seguendo quest'ultima domanda sono riucito ad arrivare alla soluzione. Sia \(2x^3 = v\), \(4y^3 = w\), allora come hai appena detto \(v \cdot w = t^3\), \(w - v = 2\) da cui \(w \cdot (w - 2) = t^3\) e applicando \(w \rightarrow w + 1\) si arriva a \((w+1)(w-1) = t^3\) ma \(\gcd(w+1, w-1) \leq 2\) e così si trovano le soluzioni per \(t\): \(-1\), \(0\) e \(2\). Conoscendo \(t\) si ricavano subito le soluzioni di Triarii.

Resta il fatto che sono ancora incapace di vederci un quadrato

Edit.
Mi sono accorto di un errore nel mio svolgimento(e infatti ora si è ridotta a delle quadratiche):
\(w \cdot v = t^3\), \(w - v = 2\) da cui
\(w(w-2) = t^3\)
\((w-1)^2 = t^3 + 1 = (t + 1)(t^2 - t + 1)\)

che si annulla per \(t = -1\).

Ora essendo ambo i fattori a destra diversi da \(0\) si ha \(\gcd(t^2 - t + 1, t + 1) = \gcd(t+1, 3) = 1 \wedge 3\).

Nel primo caso si ha che \(t^2 - t + 1 = n^2\), \(n^2 \mid (w-1)^2\), perciò
\(\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = n^2 \Longrightarrow (2t - 1)^2 + 3 = (2n)^2\)
facendo la differenza di quadrati si trova che \(t = 0 \wedge 1\).
Inoltre \(t + 1 = m^2\), \(m^2 = \frac{(w-1)^2}{n^2}\), percui l'unica soluzione fin'ora è \(0\).

Nel secondo caso \(t^2 - t + 1 = 3n^2 \Longrightarrow (2t-1)^2 - 12n^2 = -3\) insieme a \(t+1 = 3m^2\), non lo ho ancora finito di risolvere ma l'unica soluzione dovrebbe essere \(2\).

Quindi avendo questi valori si ricavano \(w\) e \(v\) e si trovano le soluzioni.