Corso Prime problema 16.2

[_Ipazia_]

"Ho a disposizione perle di due tipi: bianche e nere e voglio fare delle collane in cui siano infilate 7 perle. Quante diverse collane posso fare? NB. attenzione che una collana oltre a essere ruotata in 7 modi, può anche essere rovesciata."
Non capisco il ragionamento per arrivare alla risposta data e in ogni caso contandole a mano mi vengono 18.. sono io che non so contare? qualcuno mi può aiutare per favore?

[Half95]

Prova a ragionare sul fatto che la collana può essere ribaltata e in particolare cerca di capire quando il ribaltamento porta ad una combinazione che può essere raggiunta comunque con una rotazione e quando no

[_Ipazia_]

Mi pare che le uniche coppie che si possono ottenere per ribaltamento e non rotazione sono del tipo AABABBB e ABAABBB e ovviamente BBABAAA e BABBAAA... ma proprio anche contando a mano una sola volta ciascuna di queste mi viene 18..

[Half95]

in effetti penso fosse -2 e non -1. Credo che dobbiamo avere per forza un numero pari di possibili presa ogni combinazione con palline nere > palline bianche ne avremo un altra simile con palline bianche > palline nere. Pertanto il numero di combinazioni deve essere pari... non sono però sicuro!!!

[_Ipazia_]

ok, comunque grazie della risposta!

[ma_go]

tenderei a confermare i sospetti. il ragionamento non è piacevolissimo da scrivere, ma anche a me torna 18.

[matematik]

Ebbene si: il risultato giusto e' 18 (non 19).
Ho messo proprio in questo momento la nuova versione del file con le risposte.
Grazie mille per i controlli!
Anzi conto su di voi per controllare le liste successive (!!!!)

[Tibullus]

Il ragionamento che ho fatto è questo:

Testo nascosto:

Rappresento una collana come una configurazione di 7 numeri 1234567.

Una rotazione verso destra per esempio trasforma 1234567 in 7123456, mentre una rotazione verso sinitra trasforma 1234567 in 2345671.

Un rovesciamento inverte 1 con 1, 2 con 7, 3 con 6 e infine 4 con 5. Per cui 1234567 diventa 1765432.

Tenendo conto della posizione ho 2^7 collane diverse.

2 sono le collane con i colori tutti uguali.

Una collana può contenere al più una configurazione per cui un rovesciamento non fa cambiare nulla.
Per assurdo si supponga che una collana contenga due configurazioni per cui un rovesciamento non fa cambiar nulla. Parto da una di queste e effettuo al più 3 rotazioni, per esempio verso sinistra, per arrivare nell'altra, effettuo un rovesciamento che non fa cambiar nulla, effettuo al più 3 rotazioni verso sinistra e sono al punto di partenza. Quindi in al più 6 rotazioni sono tornato al punto di partenza, ma questo è impossibile, quindi una collana contiene al più una configurazione per cui un rovesciamento non fa cambiar nulla.

Voglio contare quante sono queste collane che contengono esattamente una di queste configurazioni per cui un rovesciamento non fa cambiar nulla. Per le prime 4 perle posso mettere un colore qualsiasi, mentre per le restanti 3 il colore è fissato dalle perle precedenti in modo che quando effettuo il rovesciamento i colori rimangano gli stessi. In totale ho quindi 2^4 collane.

A queste 2^4 collane posso togliere le due collane fatte tutte di perle bianche o nere. Le restanti (2^4 - 2) collane contengono ciascuna 7 configurazioni raggiungibili per rotazione. Perché 7 per gruppo? Si supponga che esista una ipotetica ottava configurazione raggiungibile per rovesciamento, da questa posso ruotare finché non arriverò alla configurazione per cui un rovesciamento non cambia nulla, per cui l'ottava configurazione è raggiungibile anche prima di effettuare il rovesciamento, ma questo è assurdo, quindi ci sono 7 configurazioni diverse per collana.

Le restanti collane contengono il massimo numero di configurazioni raggiungibili, cioè 7*2 (7 raggiungibili per rotazione e le restanti 7 raggiungibili dopo un rovesciamento).

Quindi in totale avrò 2 + (2^4 - 2) + (2^7 - 2 - 7 * (2^4 - 2)) / 7 = 18 collane.

[Campag]

Scusate per l'ignoranza, non sono riuscito a fare il problema 16. Ho letto la soluzione pubblicata in questa discussione ma non l'ho capita. Sono arrivato a trovare in quanti modi posso inserire le perle ma non ho capito poi la parte del rovesciamento. Qualcuno riuscirebbe a spiegarmelo. Grazie

[Lasker]

Puoi leggere la mia tesina di maturità in cui il problema è trattato in modo sistematico/generale: https://poisson.phc.dm.unipi.it/~micossi/tesina_1.pdf

Warning: si tratta di cose più difficili di quanto possa servirti per un problema di livello minore della stellina della finale di GaS, quindi se pensi ti serva per la gara delle prime/febbraio direi che devo disilluderti Per capire davvero bene di cosa si tratta credo ti serva il primo anno di università, ma per capire le applicazioni ti basta un po' di esercizio (infatti non consiglierei di prendere quella tesina per molto più che una spiegazione divulgativa su come fare problemi del genere, visto che anche io non è che fossi un esperto di gruppi )